Anasayfa
Forum
Hakkında
Kümeler Üzerine (1)...
Matematiğin en önemli konusu sence nedir diye soran olursa hiç düşünmeden vereceğim cevap kümelerdir. Hatta bana göre Matematiğin temelidir desem abartmış olmam.
Matematik tanımlarla oluşan bir bilim ve kümeler bu tanımları anlatırken kullandığımız efsane bir konudur. Çünkü ilerde zaman olur mu bilmiyorum, Sayılar, Bağıntılar, Fonksiyonlar… üzerine konuştuğumuzda neden baskılaya baskılaya Kümeler dediğimi anlayacaksınız. Önden spoiler vermem gerekirse Doğal Sayılar Kümesini ele alalım, neydi doğal sayılar kümesi: “Doğada mutlak bulunan, yokluğu ve varlığı temsil eden, bir varlık var ise adetinin ne kadar olduğunu anlatmamızda kullandığımız semboller topluluğu kümesidir.” veya “0’dan başlayıp sonsuza kadar devam eden sayılar topluluğunun oluşturduğu kümeye doğal sayılar kümesi denir.” diye öğrendiğimiz sayılır kümesinin bir alt kümesidir.
İnadına inadına nerede bir küme içeren terim bulduysam özellikle kullanıyorum ki hem önemini anlayalım hem de aşina olalım. Çünkü hayatın her yerinde kümelerin bir uygulamasına rastlamanız mümkün. Bakınız Güneş sistemi gezegen topluluğudur, Dünya ise burada bir elemandır; Okul bir öğrenci topluluğudur, öğrenciler, öğretmenler, idareciler, hizmetliler vs. bu topluluğu oluşturan elemanlardır. Kısaca bir hatırlatmalardan sonra hadi başlayalım tanımlara ve uygulamalara boğulmalara ?
Küme Nedir?
Yıllarca okullarda vazgeçilmemiş olan tanımdan yola çıkalım: “Küme, iyi tanımlanmış nesne topluluğu.” Şimdi bu tanım üzerine düşünelim.
İyi tanımlanmış nesne ne demek? İyi tanımlanmış nesne demek dünya üzerinde kim olursa olsun aynı şeyi anlaması, başka bir anlam çıkarmaması olarak düşünülmelidir. Haftanın günleri nelerdir dediğimde, herkesin aklına gelen; pazartesi, salı, çarşamba, perşembe, cuma, cumartesi, pazardır. Aksini düşünen biri olabilir mi? Bu Amerikada da böyle ingilterede de böyle. Topluluktan kastımız ise bunları bir arada yazmaktır.
Haftanın günleri={pazartesi, salı, çarşamba, perşembe, cuma, cumartesi, pazar}
Gördüğünüz üzere bir küme oluşturduk. Bu küme bizim için haftanın günleri kümesidir.
Peki başka bir küme tanımlayabilir miyiz? Tabiki tanımlarız tanımlamak için yapmamız gereken tek şey iyi tanımlı nesne seçmemiz. Yeni tanımlayacağımız küme ise dünyadaki mevsimler olsun, neydi bunlar; ilkbahar, yaz, sonbahar, kış. Dünyanın neresine giderseniz gidin her ülkede kabul görülür ama 4 mevsimi bir yılda yaşayan ülkeler ise azdır. Aslında bu örnek kesişim kümesini anlatmak için ideal bir örnekmiş notlarıma aldım ilerde bu örnek üzerine kesişimi anlatacağım.
Hasan hocam, her şey hoş güzel peki bir örnekte geçen ve bize bu küme belirtir mi belirtmez mi diye sorulduğunda bunu nasıl ayırt edeceğiz, mesela;
Öncelikle şimdi söyleyeceğim şeyi asla aklınızdan çıkarmayın: matematik tanımlardan oluşan bir bilimdir. Tanımı ne kadar iyi öğrenirseniz, bulunduğunuz konuya iyi derecede hakim olursunuz.
Şimdi tek tek soruları inceleyelim:
İyi tanımlanmış nesne ne demek? İyi tanımlanmış nesne demek dünya üzerinde kim olursa olsun aynı şeyi anlaması, başka bir anlam çıkarmaması olarak düşünülmelidir. Haftanın günleri nelerdir dediğimde, herkesin aklına gelen; pazartesi, salı, çarşamba, perşembe, cuma, cumartesi, pazardır. Aksini düşünen biri olabilir mi? Bu Amerikada da böyle ingilterede de böyle. Topluluktan kastımız ise bunları bir arada yazmaktır.
Kümeler teorisinin kurucusu Alman matematikçi G.Cantor(1845-1918) dur. Cantor da küme kavramını “Bir kümeyi, sezgimizin veya düşüncemizin belirli, mükemmel bir şekilde ayırt edilebilir nesnelerin tutarlı bir bütün halinde bir araya gelmesi olarak görüyoruz” şeklinde tanımlamaktadır
Haftanın günleri={pazartesi, salı, çarşamba, perşembe, cuma, cumartesi, pazar}
Gördüğünüz üzere bir küme oluşturduk. Bu küme bizim için haftanın günleri kümesidir.
Peki başka bir küme tanımlayabilir miyiz? Tabiki tanımlarız tanımlamak için yapmamız gereken tek şey iyi tanımlı nesne seçmemiz. Yeni tanımlayacağımız küme ise dünyadaki mevsimler olsun, neydi bunlar; ilkbahar, yaz, sonbahar, kış. Dünyanın neresine giderseniz gidin her ülkede kabul görülür ama 4 mevsimi bir yılda yaşayan ülkeler ise azdır. Aslında bu örnek kesişim kümesini anlatmak için ideal bir örnekmiş notlarıma aldım ilerde bu örnek üzerine kesişimi anlatacağım.
Hasan hocam, her şey hoş güzel peki bir örnekte geçen ve bize bu küme belirtir mi belirtmez mi diye sorulduğunda bunu nasıl ayırt edeceğiz, mesela;
- Haftanın p ile başlayan kümesi
- Haftanın j ile başlayan kümesi
- Haftanın sevilen günleri kümesi
- Haftanın bazı günleri
- Haftanın uzun geceli günleri
Öncelikle şimdi söyleyeceğim şeyi asla aklınızdan çıkarmayın: matematik tanımlardan oluşan bir bilimdir. Tanımı ne kadar iyi öğrenirseniz, bulunduğunuz konuya iyi derecede hakim olursunuz.
Sayılar konusunu bildiğinizi varsayarak söylüyorum, 1 ve 2 sayısı arasında bulunan doğal sayıları sorsam 1 ve 2 arasında doğal sayı olmadığı dönütünü vereceksiniz ve bu cevabınız çok doğru bir cevap ama 1 ile 2 arasındaki rasyonel sayıları sorsam bana yok diye cevap verebilir misiniz? Evet cevabını verenler varsa konuyu bilmiyordur. Rasyonel sayılar kümesi neydi,
IQ={a/b: a,b ∈ IN ve b, sıfırdan farklıdır}
O halde bu şarta uyan bir sayı söyleyeyim, 3/2 bu aralıkta bulunan bir rasyonel sayıdır. Demek ki bir sayımız var. Daha çokça sayı üretebilir. Örneğin kök2 sayısı yine bu aralıkta bulunan bir rasyonel sayı mıdır? Hayır, ama neden hocam √2 yaklaşık olarak 1,11 ama. Doğru yaklaşık değere bakarsak √2 bu aralıkta değerli kardeşim ama √2 rasyonel sayı değil. İlk şartımız olan (1,2) aralığının içinde ama rasyonellik şartını sağlamıyor. √2 irrasyonel bir sayıdır. Görüldüğü üzere tanımlar bilinmeden konu ilerlemiyor
IQ={a/b: a,b ∈ IN ve b, sıfırdan farklıdır}
O halde bu şarta uyan bir sayı söyleyeyim, 3/2 bu aralıkta bulunan bir rasyonel sayıdır. Demek ki bir sayımız var. Daha çokça sayı üretebilir. Örneğin kök2 sayısı yine bu aralıkta bulunan bir rasyonel sayı mıdır? Hayır, ama neden hocam √2 yaklaşık olarak 1,11 ama. Doğru yaklaşık değere bakarsak √2 bu aralıkta değerli kardeşim ama √2 rasyonel sayı değil. İlk şartımız olan (1,2) aralığının içinde ama rasyonellik şartını sağlamıyor. √2 irrasyonel bir sayıdır. Görüldüğü üzere tanımlar bilinmeden konu ilerlemiyor
Şimdi tek tek soruları inceleyelim:
- Haftanın p ile başlayan günleri: var mı böyle günlerimiz, evet. {pazar, pazartesi, perşembe} bakın kümeyi oluşturduk. O zaman tikimizi atalım
- Haftanın j ile başlayan günleri: bu da küme oluşturuyor. Boş küme oluşturur bu ama sonraki dersin konusu olsun
- Haftanın sevilen günleri: işte bu küme oluşturmaz. Neden mi bakın size bir ipucu vereyim subjektif cevaplar varsa küme oluşturmaz, senin sevdiğin gün perşembedir, benim günüm cumadır, bir başka arkadaşın günü ise pazardır. Cevapların hiçbiri birbirini tutmuyor, tutarsızlık var yani iyi tanımlı nesnemiz yok, dolayısıyla Küme oluşturmaz.
- Haftanın bazı günleri: bence pazartesini soruyor, sizce? Subjektif cevaplar oluşacak ve bir net cevap bulamayacağız. Burada iyi tanımlanmış bir nesnemiz yok. Küme oluşturmaz.
- Haftanın uzun geceli günleri: bence küme oluşturmaz gibi, Sizce?
