Bu bölümde artık integral kavramını yalnızca tarihsel olarak değil, matematiksel olarak inşa edeceğiz.

Ama bunu yaparken hazır formülü vermek yerine, öğrencinin zihninde şu düşünceyi kuracağız:

“Ben eğrinin altındaki alanı doğrudan bulamıyorum. Ama onu küçük dikdörtgenlere ayırıp yaklaşık olarak bulabiliyorum. Dikdörtgenleri yeterince küçültürsem gerçek alana ulaşabilir miyim?”

İşte Riemann toplamlarının çıkış noktası tam olarak budur.

Bu bölümün sonunda öğrenci;

1. eğri altında kalan alan probleminin neden doğrudan çözülemediğini,
   
2. bir aralığın eşit parçalara nasıl bölündüğünü,
   
3. delta (\(\Delta x\)) kavramının ne anlama geldiğini,
   
4. sağ uç, sol uç ve orta nokta Riemann toplamlarını,
   
5. alt toplam ve üst toplam fikrini,
   
6. toplam sembolü (\(\sum\))'nün kullanımını,
   
7. Riemann toplamından belirli integrale nasıl geçildiğini,
   
8. belirli integralin limit tanımını,
   
9. işaretli alan ile geometrik alan arasındaki farkı
   

açıklayabilecek ve temel örneklerde kullanabilecektir.


Şu fonksiyonu ele alalım:
\(f(x)=x^2\) ve (\(x=0\)) ile (\(x=2\)) arasındaki bölgenin alanını bulmak istediğimizi düşünelim. Yani şu bölgeyle ilgileniyoruz \(0\le x\le2\) ve \(0\le y\le x^2\). Kabaca:



Bu alan bir dikdörtgen değil, üçgen ve daire de değil. Yani elimizde doğrudan kullanabileceğimiz klasik bir geometri formülü yok. Peki ne yapacağız?


Dikdörtgenin alanını biliyoruz \(A=\text{taban}\cdot\text{yükseklik}\). O hâlde eğrinin altındaki bölgeyi dikdörtgenlere bölebiliriz. İlk olarak aralığı iki eşit parçaya ayıralım:
\([0,2]\) aralığının uzunluğu: \(2-0=2\) olduğuna göre iki parçanın her birinin genişliği: \(\Delta x=1\) olur. Dikdörtgenlerin yüksekliğini eğriden alalım.

Örneğin sağ uç noktaları kullanalım:
İlk aralık \([0,1]\): sağ uç, \(x=1\) yükseklik, \(f(1)=1^2=1\)
İkinci aralık \([1,2]\): sağ uç, \(x=2\) yükseklik, \(f(2)=2^2=4\)
Alanların toplamı: \(A\approx1\cdot1+4\cdot1\) \(A\approx5\) bulunur. Bu sonuç gerçek alan değildir. Sadece yaklaşık bir değerdir.


Çünkü dikdörtgenlerin üst kenarları eğriye tam olarak uymaz. Bazı yerlerde dikdörtgen eğrinin üzerine çıkar. Bazı yöntemlerde eğrinin altında kalabilir. Bu nedenle dikdörtgenlerle bulduğumuz toplam: \(A_{\text{yaklaşık}}\) gerçek alanın yaklaşık değeridir.

Ama şu soruyu sorabiliriz: Dikdörtgenlerin sayısını artırırsak hata küçülür mü?
Cevap: Evet.


Genel bir aralık düşünelim \([a,b]\) gibi. Bu aralığın uzunluğu \(b-a\) dır. Bunu (n) eşit parçaya bölersek her parçanın genişliği: \(\boxed{
\Delta x=\frac{b-a}{n}
}\) olur.

Bu formülü ezberlemeyelim sadece nereden geldiğini görelim. Toplam uzunluk \(b-a\) dır. Eğer bu uzunluğu (n) eşit parçaya ayırıyorsak olur yani \(\Delta x=\frac{b-a}{n}.\) Burada (\(\Delta\)) sembolü değişim anlamına gelir. Dolayısıyla \(\Delta x\) ifadesi, x değişkenindeki küçük değişim olarak okunabilir.


Aralığı eşit parçalara böldüğümüzde şu noktaları elde ederiz:
\(x_0=a\)
\(x_1=a+\Delta x\)
\(x_2=a+2\Delta x\)
\(x_3=a+3\Delta x\)
...
ve genel olarak:
\(\boxed{
x_i=a+i\Delta x
}\)

Son nokta: \(x_n=b\) olur. Çünkü: \(x_n=a+n\Delta x\) ve \(\Delta x=\frac{b-a}{n}\)
olduğundan:
\(a+n\frac{b-a}{n}\)
\(x_n=a+b-a\)
\(x_n=b.\)


Her küçük aralıkta bir dikdörtgen oluşturuyoruz. Dikdörtgenin genişliği \(\Delta x\) yüksekliği ise fonksiyonun seçilen noktadaki değeri \(f(x_i)\) olsun. O zaman küçük dikdörtgenin alanı:
\(\boxed{
\Delta A_i\approx f(x_i)\Delta x
}\)
olur. Buradaki \(\Delta A_i\) ifadesi küçük bir alan parçasını temsil eder. Toplam alan yaklaşık olarak: \(A\approx
f(x_1)\Delta x+
f(x_2)\Delta x+
\cdots+
f(x_n)\Delta x\) olur. Bu uzun ifadeyi daha kısa yazmak için toplam sembolünü kullanırız:
\(\boxed{
A\approx
\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x
}\)
İşte Riemann toplamlarının temel yapısı budur.


\(\sum\) Yunan alfabesindeki büyük Sigma harfidir ve  topla  anlamına gelir. Örneğin, \(\sum_{i=1}^{4}i\) şu anlama gelir \(1+2+3+4\) yani \(10\).

Benzer şekilde \(\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x\) şu toplamın kısa yazımıdır \(f(x_1)\Delta x+
f(x_2)\Delta x+
\cdots+
f(x_n)\Delta x.\)


Her alt aralıkta yüksekliği sağ uç noktadan seçersek buna Sağ uç nokta toplamı denir.

Sağ uç noktalar \(x_i=a+i\Delta x\) olduğundan \(\boxed{
R_n=
\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x
}\) yazabiliriz. Buradaki R, Right — sağ kelimesini hatırlatabilir.


Aralığımız \([0,2]\) ve \(n=4\) olsun. Önce genişliği bulalım:
\(\Delta x=\frac{2-0}{4}\)
\(\Delta x=\frac12.\)

Sağ uç noktalar:
\(x_1=\frac12\)
\(x_2=1\)
\(x_3=\frac32\)
\(x_4=2.\)

Fonksiyon \(f(x)=x^2.\) O hâlde \(R_4=
\left[
f\left(\frac12\right)
+
f(1)
+
f\left(\frac32\right)
+
f(2)
\right]\frac12\) olur.

Değerleri hesaplayalım:

\(f\left(\frac12\right)=\frac14\)
\(f(1)=1\)
\(f\left(\frac32\right)=\frac94\)
\(f(2)=4.\)

Toplayalım:
\(=\)\(R_4=
\left(
\frac14+1+\frac94+4
\right)\frac12\)

\(=\)\(R_4=
\frac{15}{4}\cdot\frac12\)

\(=\)\(\boxed{
R_4=\frac{15}{4}
}\) yani \(R_4=3{,}75\). Gerçek alanın biraz üzerinde bir değer elde ettik.


Şimdi her dikdörtgenin yüksekliğini sol uç noktadan seçelim. Sol uç noktalar \(x_0,x_1,\ldots,x_{n-1}\) olur.

Toplam: \(\boxed{
L_n=
\sum_{i=0}^{n-1}
f(x_i)\Delta x
}\) şeklinde yazılır.


Yine \(f(x)=x^2\) ve \([0,2]\) aralığını dört parçaya bölelim. \(\Delta x=\frac12.\) Sol uç noktalar \(0,\frac12,1,\frac32.\)

O hâlde:

\(L_4=
\left[
f(0)
+
f\left(\frac12\right)
+
f(1)
+
f\left(\frac32\right)
\right]\frac12\)


\(L_4=
\left[
0+
\frac14+
1+
\frac94
\right]\frac12\)


\(L_4=
\frac72\cdot\frac12\)


\(\boxed{
L_4=\frac74
}\)


yani \(L_4=1{,}75.\) Burada gerçek alanın altında kaldık.


Çünkü \(f(x)=x^2\) fonksiyonu ([0,2]) aralığında artandır.

Fonksiyon artarken:

sol uç noktadaki yükseklik daha  küçüktür ,
sağ uç noktadaki yükseklik daha  büyüktür .

Bu nedenle \(L_n<A<R_n\) ilişkisini bekleriz. Buradaki (A), gerçek alanı temsil etsin.


Her alt aralığın tam ortasındaki noktayı kullanırsak  Orta nokta Riemann toplamı  elde ederiz. Orta nokta \(\frac{x_{i-1}+x_i}{2}\) şeklinde bulunabilir.

Toplam \(\boxed{
M_n=
\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\Delta x
}\) şeklindedir. Orta nokta yöntemi çoğu zaman sol ve sağ uç yöntemlerinden daha iyi yaklaşık sonuç verir.


Şimdi en önemli noktaya geldik. Dikdörtgen sayısı olan \(n\) arttıkça \(\Delta x=\frac{b-a}{n}\) küçülür. Yani \(n\rightarrow\infty\) iken \(\Delta x\rightarrow0\).

Dikdörtgenler giderek daha ince olur eğriye daha iyi uyarlar. Yaklaşım hatası küçülür. İşte bu nedenle alanı şu limit ile tanımlayabiliriz:
\(\boxed{
A=
\lim_{n\to\infty}
\sum_{i=1}^{n}
f(x_i^*)\Delta x
}\)

Buradaki \(x_i^*\) her alt aralıkta seçilmiş bir noktadır.


Şimdi bu limite özel bir sembol veriyoruz: \(\boxed{
\int_a^b f(x),dx
}\) ve tanımımız \(\lim_{n\to\infty}
\sum_{i=1}^{n}
f(x_i^*)\Delta x\) olur. İşte belirli integralin temelinde yatan fikir budur.


Şu ifadeye bakalım: \(\int_a^b f(x),dx\)
Burada

\(\int\) integral işaretidir. \(a\) alt sınırdır. \(b\) üst sınırdır. \(f(x)\) integrandı, yani integre edilen fonksiyondur. \(dx\) integrasyon değişkeninin (x) olduğunu belirtir

ve Riemann toplamındaki küçük genişlik fikriyle ilişkilidir.

Bu ifade şöyle okunur:

“\(a\)'dan \(b\)'ye \(f(x)\)'in \(x\)'e göre integrali.”

Öğrencilerin çok sık yaptığı bir hata var, \(dx\) ifadesini anlamsız bir süs gibi görmek. Oysa değildir. Riemann toplamında her küçük alan yaklaşık olarak \(f(x_i^*)\Delta x\) şeklindeydi. Limit sürecinde \(\Delta x\) giderek küçülür. İntegral notasyonundaki \(dx\) bu küçük değişim/diferansiyel fikrinin parçasıdır. Ayrıca hangi değişkene göre integral aldığımızı gösterir. Örneğin \(\int f(x),dx\) ile \(\int f(t),dt\) aynı tür işlemi farklı değişkenler üzerinden ifade eder.


Hayır! Burada çok önemli bir ayrım vardır. Belirli integral \(\int_a^b f(x),dx\) bir işaretli birikim verir. Fonksiyon \(x\) ekseninin üzerindeyse pozitiftir. Fonksiyon \(x\) ekseninin altındaysa negatiftir.


Örneğin \(f(x)=-2\) fonksiyonunu ([0,3]) aralığında ele alalım. Geometrik alan \(A=2\cdot3=6\) birim karedir. Ama integral \(\int_0^3 -2,dx=-6\) olur. Çünkü fonksiyon x ekseninin altındadır. Dolayısıyla Geometrik alan her zaman pozitiftir ama  belirli integral negatif olabilir. 


Şu ifade \(\int_a^b f(x),dx\) her zaman geometrik alan anlamına gelmez. Daha doğru ifade  İşaretli alan / net birikim  dir.

Eğer gerçek geometrik alan isteniyorsa x ekseninin altında kalan kısımlar ayrıca pozitif alınmalıdır. Bu konu ileride alan problemlerinde ayrıntılı biçimde ele alınacaktır.


Riemann integralinin tarihsel ve kavramsal temelini daha iyi anlamak için iki önemli fikir vardır:

Alt toplam
Her alt aralıkta fonksiyonun en küçük değerini seçeriz. Böylece oluşturduğumuz dikdörtgenler eğrinin altında kalır. Bu toplam gerçek alandan küçük veya eşittir.

Üst toplam
Her alt aralıkta fonksiyonun en büyük değerini seçeriz. Dikdörtgenler eğrinin üzerinde kalır. Bu toplam gerçek alandan büyük veya eşittir.

Kabaca \(\text{Alt toplam}
\le
\text{Gerçek alan}
\le
\text{Üst toplam}\) olur.


Dikdörtgenleri giderek incelttikçe \(L_n\) alt toplamı yukarı doğru gerçek alana yaklaşır. \(U_n\) üst toplamı aşağı doğru gerçek alana yaklaşır. Eğer ikisi de aynı değere yaklaşıyorsa \(\lim_{n\to\infty}U_n\) \(=A\) olur. Bu ortak değer integraldir. Bu düşünce öğrencinin integralin “neden kesin bir sayı verdiğini” anlaması açısından son derece önemlidir.


19.yüzyılda Alman matematikçi Bernhard Riemann, integral kavramını daha sistematik ve kesin bir matematiksel çerçeveye oturttu. Bu nedenle \(\sum f(x_i^*)\Delta x\) tipindeki toplamlar bugün Riemann toplamları olarak adlandırılır. Riemann'ın yaklaşımı:

Bir aralığı küçük parçalara ayır, her parçada fonksiyondan bir örnek değer seç, küçük katkıları topla ve parçaların boyutunu sıfıra götür.

fikrine dayanır.


Şu iki ifade aynı şey değildir \(\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\Delta x\) ve \(\int_a^b f(x),dx.\)

İlk ifade sonlu sayıda dikdörtgenin toplamıdır. Bu nedenle genellikle yaklaşık değerdir. İkinci ifade ise limit süreci tamamlandıktan sonra elde edilen kesin matematiksel nesnedir. Yani \(\boxed{
\text{Riemann toplamı}
\longrightarrow
\text{Limit}
\longrightarrow
\text{İntegral}
}\)

❌ Hatalı düşünce

“Dikdörtgen sayısı sonsuz olunca sonsuz alan oluşur.”
Hayır! Çünkü dikdörtgen sayısı artarken her bir dikdörtgenin genişliği küçülmektedir.

Örneğin \(n\rightarrow\infty\) ama aynı zamanda \(\Delta x=\frac{b-a}{n}\rightarrow0.\)

Yani:

• parça sayısı büyür,
  
• her parçanın büyüklüğü küçülür.
  

Bu iki süreç birlikte değerlendirilmelidir.


Şu limiti düşünelim \(\lim_{n\to\infty}
\sum_{i=1}^{n}
\left(\frac{i}{n}\right)^2
\frac1n\)

Burada \(\Delta x=\frac1n\) gibi görünüyor. Bu durumda aralığın \([0,1]\) olduğunu düşünebiliriz. Sağ uç noktalar \(x_i=\frac{i}{n}\) olur.

Dolayısıyla toplam \(\sum_{i=1}^{n}
x_i^2\Delta x\) şeklindedir. Limit \(\boxed{
\int_0^1x^2,dx
}\) integraline karşılık gelir. Bu beceri ileride çok önemlidir.


Şu integrali düşünelim \(\int_0^2x^2,dx\) Aralık \([0,2]\) olduğundan \(\Delta x=\frac{2}{n}.\)

Sağ uç noktaları kullanırsak \(x_i=\frac{2i}{n}.\)
Dolayısıyla \(\lim_{n\to\infty}
\sum_{i=1}^{n}
\left(\frac{2i}{n}\right)^2
\frac{2}{n}.\)

İşte integral ile toplam arasındaki ilişki burada açıkça görülür.


Şu sembolü \(\int\) gördüğünüzde zihninizde “Çok küçük katkıları topluyorum.” düşüncesi oluşmalıdır. Şu ifadeyi \(f(x),dx\) gördüğünüzde  “Fonksiyon değeri × çok küçük x değişimi."  şeklinde düşünebilirsiniz ve \(\int_a^b\) ifadesi  “a'dan b'ye kadar bütün küçük katkıları biriktir.”  fikrini taşır.


Aralığın mutlaka eşit parçalara ayrılması gerekmez. Daha genel olarak \(a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_n=b\) şeklinde bir bölüntü alınabilir. Her alt aralığın genişliği \(\Delta x_i=x_i-x_{i-1}\) olsun. Her aralıktan bir \(x_i^*\) örnek noktası seçelim. Riemann toplamı: \(\sum_{i=1}^{n}
f(x_i^*)\Delta x_i\) olur.

En büyük alt aralık genişliği sıfıra giderken bu toplamın limiti varsa \(\int_a^b f(x),dx\) elde edilir. Bu, eşit parçalı tanımdan daha genel bir yaklaşımdır.


Bu çok güzel ve ileri düzey bir sorudur.

Cevap: Hayır, her fonksiyon Riemann anlamında integrallenebilir değildir.

Fakat lise ve temel üniversite matematiğinde karşılaşacağımız sürekli fonksiyonların büyük bölümü integrallenebilirdir. Özellikle  kapalı bir ([a,b]) aralığında sürekli olan her fonksiyon Riemann integrallenebilirdir.  Bu önemli sonucu ileride teorik bölümde tekrar ele alacağız.


Şu kalıbı ezberlemek yerine tanıyalım: \(\boxed{
\sum
\underbrace{f(x_i^*)}{\text{yükseklik}}
\underbrace{\Delta x}{\text{genişlik}}
}\)
]

Her terim \(\text{yükseklik}\times\text{genişlik}\) yani küçük bir alan katkısıdır. Toplam ise \(\text{küçük alanların toplamı}\) dır. Limit geldiğinde: \(\text{kesin integral}\) oluşur.


Artık şu zinciri kurabiliriz:

\(\boxed{
\text{Alan problemi}
\rightarrow
\text{Dikdörtgenler}
\rightarrow
\text{Riemann toplamı}
\rightarrow
\text{Limit}
\rightarrow
\text{Belirli integral}
}\)

Bu zincir integralin mantıksal doğuşudur.

1. “(\Delta x=0) olur.”
Hayır. Limit sürecinde \(\Delta x\rightarrow0\) deriz. Yaklaşır; sonlu Riemann toplamında genişlik hâlâ pozitiftir.

2. “İntegral sonsuz tane dikdörtgen toplamaktır.”
Bu cümle sezgisel olarak yardımcı olabilir ama matematiksel olarak daha dikkatli ifade şudur: İntegral, Riemann toplamlarının uygun limitidir.

3. “Belirli integral her zaman pozitif alan verir.”
Hayır. \(X\) ekseninin altındaki katkılar negatiftir.

4. “(\(\sum\)) ile (\(\int\)) aynı semboldür.”
Hayır. \(\sum\) sonlu veya ayrık toplamı temsil eder. \(\int\) sürekli birikimi temsil eden limit temelli işlemdir. Ama tarihsel ve kavramsal olarak birbirleriyle yakından ilişkilidirler.





\(\boxed{
\text{Belirli integral, küçük katkıların oluşturduğu Riemann toplamlarının limitidir.}
}\)