Bu bölümde artık integralin ikinci büyük yüzüne geçiyoruz. Önceki bölümde \(\int_a^b f(x),dx\) şeklindeki belirli integrali gördük ve bunu Riemann toplamlarının limiti olarak yorumladık. Şimdi ise \(\int f(x),dx\) şeklindeki belirsiz integral kavramını inceleyeceğiz.

Buradaki temel soru şudur: Bir fonksiyonun türevi verildiğinde, o fonksiyonun kendisini geri bulabilir miyiz? İşte belirsiz integral bu sorunun cevabıdır.

Bu bölümün sonunda öğrenci;

• ilkel fonksiyon kavramını,
  
• belirsiz integralin ne anlama geldiğini,
  
• türev ile belirsiz integral arasındaki ilişkiyi,
  
• neden (+C) sabitinin gerekli olduğunu,
  
• belirli integral ile belirsiz integral arasındaki farkı,
  
• temel integral alma kurallarını,
  
• sabit katsayı ve toplam-fark kurallarını,
  
• kuvvet kuralını,
  
• basit üstel ve trigonometrik integralleri
  

açıklayabilecek ve temel örneklerde uygulayabilecektir.


\(F(x)=x^2\) fonksiyonun türevini alalım. Fonksiyonun türevi \(F'(x)=2x\) olur.

Şimdi soruyu tersine çevirelim. \(F'(x)=2x\) verildiğini düşünün. Size şu soru sorulsun: Türevi (\(2x\)) olan fonksiyon nedir?

İlk akla gelen cevap \(x^2\) olur. Çünkü \(\frac{d}{dx}(x^2)=2x.\) Ama burada çok önemli bir ayrıntı vardır.

Örneğin aşağıdaki 3 fonksiyonun da türevini alalım:

1. \(F(x)=x^2+5\) \(\frac{d}{dx}(x^2+5)=2x.\)
   
2. \(F(x)=x^2-12\) \(\frac{d}{dx}(x^2-12)=2x.\)
   
3. \(F(x)=x^2+1000\) \(\frac{d}{dx}(x^2+1000)=2x.\)
   

🥸 Önemli bir çıkarım

Demek ki türevi \(2x\) olan tek bir fonksiyon yoktur.  Sonsuz sayıda fonksiyon vardır. 

Çünkü sabit sayıların türevi sıfırdır \(\frac{d}{dx}( C )=0\). Burada (\(C\)), herhangi bir sabit sayıdır. O hâlde \(2x\) olur. Bu yüzden: \(\boxed{
\int 2xdx=x^2+C
}\) yazarız. İşte (\(+C\)) buradan gelir.


Bir (f(x)) fonksiyonu verilsin. Eğer \(F'(x)=f(x)\) ise (\(F(x)\))'e  (\(f(x)\))'in ilkel fonksiyonu  denir.

Örneğin \(f(x)=6x\) olsun. Çünkü \(\frac{d}{dx}(3x^2)=6x\) olduğundan \(3x^2\) bir ilkel fonksiyondur.

Ama aynı şekilde \(3x^2+1\) \(3x^2-7\) \(3x^2+100\) de ilkel fonksiyondur. Genel biçim \(\boxed{
F(x)+C
}\) şeklindedir.


Bir (\(f(x)\)) fonksiyonunun bütün ilkel fonksiyonlarının oluşturduğu aileye Belirsiz integral denir. Gösterimi \(\boxed{
\int f(x) dx=F(x)+C
}\) şeklindedir. Burada \(F'(x)=f(x)\) olmalıdır. Yani belirsiz integral aslında "Türevi verilen fonksiyonu geri bulma" işlemidir.


Bu ifade özellikle belirsiz integral için doğrudur. Örneğin \(\frac{d}{dx}(x^3)=3x^2\) ise ters yönde \(\int 3x^2,dx=x^3+C.\)

⚠️ Dikkat

Belirsiz integral yalnızca tek bir fonksiyonu değil, bir fonksiyon ailesini verir.

Şu iki ifade aynı değildir, \(\int f(x) dx\) ve \(\int_a^b f(x) dx\).

İlk ifade "Belirsiz integral"dir ve sonucu genellikle \(F(x)+C\) gibi bir fonksiyon ailesidir

İkinci ifade ise "Belirli integral"dir ve sonucu genel olarak bir sayıdır.

Örneğin \(\int 2x dx=x^2+C\) dir ama \(\int_0^2 2x dx=4.\) Dikkat etiyseniz ilk fonksiyon bir fonksiyon ailesi iken ikinci fonksiyon ise bir sayı değeri verdi.


Belirli integralde \(a\) ve \(b\) sınırları vardır. Çünkü belirli bir aralıkta toplam birikimi hesaplarız. Belirsiz integralde ise belli bir aralık üzerinde toplam hesaplamıyoruz. Sadece  “Bu fonksiyonun türevi hangi fonksiyondan gelmiş olabilir?”  sorusunu soruyoruz. Bu yüzden alt ve üst sınır yoktur.


\(\int 4x^3,dx=x^4\) eşitliğini düşünelim. Bu yazım eksiktir. Doğrusu \(\boxed{
\int 4x^3,dx=x^4+C
}\) olmalıdır. Çünkü türev alınırken bütün sabit sayılar yok olur.

Örneğin:
\((x^4+2)'=4x^3\)
\((x^4-9)'=4x^3\)
\((x^4+100)'=4x^3\).

Türev işlemi sabitleri kaybeder. İntegral ise bu kaybolan sabitleri tek bir sayı olarak geri getiremez. Bu nedenle \(C\) ile bütün olası sabitleri temsil ederiz.


Şu fonksiyon ailesini düşünelim \(F(x)=x^2+C\). Örneğin;

1. \(y=x^2\)
   
2. \(y=x^2+2\)
   
3. \(y=x^2-3\)
   

grafiklerinin şekilleri aynıdır. Sadece düşey yönde kaymışlardır. Yani y-ekseni üzerinde farklı noktalarda bulunmaktadır. Hepsinin türevi \(2x\)dir. Çünkü düşey kaydırma eğimi değiştirmez. Bu yüzden (+C) geometrik olarak "Aynı eğim yapısına sahip, düşey yönde kaydırılmış fonksiyonlar ailesini" temsil eder.


Türevde şunu biliyoruz \(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}.\) Şimdi bunu tersine çevirelim. Bir (\(x^n\)) fonksiyonunu integre etmek istiyorsak kuvveti bir artırıp yeni kuvvete böleriz \(\frac{x^{n+1}}{n+1}+C
\) ancak \(n\neq-1\) olmalıdır. Bu koşul çok önemlidir.


Örneğin \(\int x^3,dx\) integralini düşünelim. Türevi (\(x^3\)) olan bir fonksiyon arıyoruz.

Şu fonksiyonu deneyelim \(\frac{x^4}{4}.\) Türev \(\frac14\cdot4x^3 = x^3\).

Demek ki \(\frac{x^4}{4}+C\) olur.


Örnek 1: \(\int x^5,dx\)
Kuvveti bir artır \(5+1=6.\) Sonra yeni kuvvete böl \(\frac{x^6}{6}+C\)

Örnek 2:
\(\int x^2,dx\) \(=\) \(\boxed{
\frac{x^3}{3}+C
}\)

Örnek 3: \(\int x,dx\)
Burada \(x=x^1.\) O hâlde:

\(\frac{x^2}{2}+C\)

Örnek 4: \(\int 1,dx\)
Burada \(1=x^0.\)

Dolayısıyla \(\frac{x^1}{1}+C\) yani \(\boxed{
\int 1,dx=x+C
}\) olur.


Kuvvet kuralı negatif kuvvetler için de çalışabilir. Örneğin \(\int x^{-2},dx\) Kuvveti bir artır \(-2+1=-1.\)
Yeni kuvvete böl \(-x^{-1}+C\) yani \(-\frac1x+C\)


Şimdi \(\int x^{-1},dx\) integralini düşünelim. Kuvvet kuralını uygularsak \(n+1=0\) olur ve \(\frac{x^0}{0}\) gibi anlamsız bir ifade ortaya çıkar. Dolayısıyla kuvvet kuralı burada kullanılamaz.

Ama biliyoruz ki \(\frac1x.\) O hâlde \(\ln|x|+C\) olur. Bu integral özel olarak ezberlenmesi gereken temel integrallerden biridir.


Bir sabit sayı integralin dışına çıkarılabilir.
\(c\int f(x),dx\)
Örneğin;
\(\int 5x^2,dx\) \(=\) \(5\int x^2,dx\) \(=\) \(5\cdot\frac{x^3}{3}+C\) yani \(\frac{5x^3}{3}+C\)


İntegral, toplam ve fark üzerinde dağıtılabilir.
\(\int f(x),dx+\int g(x),dx\) ve \(\int f(x),dx-\int g(x),dx\)


\(\int(3x^2+4x-5),dx\)

Terimleri ayrı ayrı integre edelim \(5\int1,dx.\) şimdi \(5x+C.\) Sadeleştirirsek \(\boxed{
x^3+2x^2-5x+C
}\) buluruz.

İntegral sonucunu kontrol etmek çok kolaydır: Türevini al!

Örneğin: \(F(x)=x^3+2x^2-5x+C\) ise \(F'(x)=3x^2+4x-5.\)

Başlangıçtaki integrand ile aynı çıktı. Dolayısıyla sonuç doğrudur. Bu kontrol yöntemi öğrenciler için son derece değerlidir.


\(\int k,dx\) integralini düşünelim, (k) sabit olsun.
Çünkü \(\frac{d}{dx}(kx)=k\) olduğundan \(\boxed{
\int k,dx=kx+C
}\) olur.
Örneğin: \(\int 7,dx=7x+C.\)


Şu çok önemli türevi biliyoruz \(\frac{d}{dx}e^x=e^x.\)
Dolayısıyla \(\boxed{
\int e^x,dx=e^x+C
}\) olur.

Üstel fonksiyon burada çok özeldir çünkü türevi yine kendisidir.


Biliyoruz ki: \(a^x\ln a.\) O hâlde \(\frac{a^x}{\ln a}+C\) burada \(a>0,\qquad a\neq1.\)


Türev bilgimizi tersine çevirerek birçok temel integral elde edebiliriz. Çünkü \((\sin x)'=\cos x\) olduğundan \(\sin x+C\).

Ayrıca \((\cos x)'=-\sin x\) olduğu için \(-\cos x+C\)


Biliyoruz ki \((\tan x)'=\sec^2x.\)
Dolayısıyla \(\tan x+C\) ayrıca \((\cot x)'=-\csc^2x\) olduğundan \(-\cot x+C\)

İntegrand	İntegral
\((x^n), (n\neq-1)\)	\((\frac{x^{n+1}}{n+1}+C)\)
\((\frac1x)\)	\((lnx+C)\)
\((e^x)\)	\((e^x+C)\)
\((a^x)\)	\((\frac{a^x}{\ln a}+C)\)
\((\cos x)\)	\((\sin x+C)\)
\((\sin x)\)	\((-\cos x+C)\)
\((\sec^2x)\)	\((\tan x+C)\)
\((\csc^2x)\)	\((-\cot x+C)\)

Bu tabloyu yalnızca ezberlemek yerine türev bilgisiyle doğrulamak çok daha kalıcıdır.


Şu integrali düşünelim \(\int(2x+3),dx.\)
Türevi \(2x+3\) olan bir fonksiyon arıyoruz.

Bunu tersine düşünürsek \(x^2+3x\) akla gelir. Çünkü \((x^2+3x)'=2x+3.\) Dolayısıyla \(x^2+3x+C\)


Şu eşleşmeleri düşünün: \(x^4
\longrightarrow
4x^3\) ise \(4x^3
\longrightarrow
x^4+C.\)

Aynı şekilde \(\sin x
\longrightarrow
\cos x\) ise \(\cos x
\longrightarrow
\sin x+C.\)

Bu yüzden başlangıçta integral öğretirken öğrencinin türev bilgisini sürekli kullanmak çok faydalıdır.


Başlangıçta bazı integraller: “Türevi ne olursa bu ifade çıkar?” sorusuyla çözülebilir. Ama ilerleyen bölümlerde karşılaşacağımız integraller çok daha karmaşık olacaktır. Örneğin \(\int 2x\cos(x^2),dx\) veya \(\int x e^x,dx\) gibi integraller için özel yöntemlere ihtiyaç duyacağız.

Bunlar bizi,

• değişken değiştirme,
  
• parçalı integrasyon,
  
• trigonometrik yöntemler
  

gibi tekniklere götürecektir.


Bizlere şu bilgi verilsin: \(F'(x)=2x\) ve \(F(1)=5\).

Önce integre(integralini alma) edelim: \(F(x)=x^2+C\).
Şimdi başlangıç koşulunu kullanalım: \(F(1)=1+C=5\).
Buradan: \(C=4\).

Dolayısıyla bizim en baştan aradığımız denklemimiz \(\boxed{
F(x)=x^2+4
}\) bulunur.

Bu çok önemli bir fikirdir. Konuyu anlatırken başlangıçta söylemiştim ama  "Belirsiz integral bize bir fonksiyon ailesi verir" . Ancak bize ek bir koşul verilirse bu aileden tek bir fonksiyon seçebiliriz.



Bir cismin hızı \(v(t)=2t\) olsun. Konum fonksiyonunun türevi hızdır. O halde \(s'(t)=v(t)\). Dolayısıyla,
\(=\)\(s(t)=\int2t,dt\)
\(=\)\(s(t)=t^2+C\).

Buradaki (\(C\)) fiziksel olarak ne olabilir?

Başlangıç konumu!

Örneğin:
\(s(0)=10\) ise \(C=10\).

Böylece \(\boxed{
s(t)=t^2+10
}\) olur. Bu örnek (\(+C\))'nin neden yalnızca matematiksel bir formalite olmadığını çok güzel gösterir.


Birçok problemde (\(C\)):

• başlangıç konumu,
  
• başlangıç sıcaklığı,
  
• başlangıç nüfusu,
  
• başlangıç miktarı,
  
• başlangıç enerji seviyesi
  

gibi bir başlangıç bilgisini temsil edebilir. Bu yüzden integralden çıkan (\(C\)), fiziksel olarak da çok önemlidir.


Daha dikkatli söylersek \(\int f(x),dx\) tek bir fonksiyon değil, bir Fonksiyon ailesini temsil eder.

Örneğin \(\int2x,dx=x^2+C\) ifadesi \(x^2-100,\quad x^2,\quad x^2+1,\quad x^2+\pi,\quad \ldots\) gibi sonsuz sayıda fonksiyonu kapsar.



Örneğin \(\int(x^2+x),dx\) için \(\frac{x^3}{3}+C_1+\frac{x^2}{2}+C_2\) yazılabilir ama \(C_1+C_2\) yine herhangi bir sabittir.

Bu yüzden tek bir \(C\) ile yazmak yeterlidir \(\boxed{
\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+C
}\)

⚠️ Dikkat

Belirsiz İntegralde En Çok Yapılan Hata: İntegral Sabitlerini (\(C\)) Birleştirmek
Bu konuyu anlatırken bir öğrencimin farklı integrallerin sabitlerini (\(C\)) tek bir sabitmiş gibi işlemine dahil ettiğini fark ettim. Örneğin;

\(\int 2x \, dx \quad \text{ve} \quad \int 3 \, dx\)

ifadelerini ayrı ayrı çözmek yerine, hepsini tek bir hamlede toplayıp sonucu \(x^2 + 3x + C\) olarak ifade etmeye çalışıyordu. Bu matematiksel olarak hatalı bir yaklaşımdır. Her belirsiz integral işlemi kendi içinde bağımsız bir sabit yani (\(C\)) doğurur. Birleştirilen veya toplanan her ifadenin sabiti birbirinden farklı olabilir, bu yüzden doğrudan aynı kabul edilemezler. İlk integralin sabiti \(C_1 = \pi\), ikincisininki ise \(C_2 = 5\) olabilir.

 Temel Kural:  Ayrı ayrı ele alınan ya da adımları birleştirilen ifadelerde her integral için tek bir \(C\) sabiti varmış gibi düşünülmemeli, sabitlerin bağımsızlığı unutulmamalıdır.

Şu ifadeyi düşünelim \(\int_a^b f(x),dx\). Kalkülüsün Temel Teoremi ile \(F(b)-F(a)\) yazarız.

Eğer \(F(x)+C\) kullansaydık \([F(b)+C]-[F(a)+C]\) olurdu. Bu durumda (\(C\)) sabitleri birbirini götürdüğünden \(F(b)-F(a)\) elimizde kalır. Bu nedenle belirli integral sonucuna ayrıca (\(+C\)) yazılmaz.

Özellik	Belirsiz integral	Belirli integral
Gösterim	\((\int f(x),dx)\)	\((\int_a^b f(x),dx)\)
Sınırlar	Yok	Var
Sonuç	Fonksiyon ailesi	Genellikle sayı
(\(+C\))	Vardır	Yoktur
Temel fikir	İlkel fonksiyon	Birikim / Riemann limiti
Türevle ilişki	Ters işlem	Temel Teorem ile bağlı

Burada pedagojik olarak şu ayrımı korumak gerekir,

• Belirsiz integral \(\int f(x),dx\) bir ilkel fonksiyon bulma problemidir.
  
• Belirli integral \(\int_a^b f(x),dx\) bir birikim problemidir.
  
• Bunların birbirine bağlanması Kalkülüsün Temel Teoremi sayesinde olur.
  

Bu bağlantıyı bir sonraki ana bölümde ayrıntılı olarak kuracağız.


Öğrenciler genellikle (+C)'yi geçmiş öğrenim alışkanlıklarından dolayı ezberler. Bunun yerine önce şu etkinlik yapılabilir, tahtaya: \(x^2,\qquad x^2+3,\qquad x^2-8,\qquad x^2+100\) yazılır ve öğrencilerden hepsinin türevi istenir. Hepsinin \(2x\) olduğu görüldükten sonra şu soru sorulur:

“Demek ki türev bize sabit hakkında bilgi vermiyor. O hâlde tersine giderken hangi sabitin olduğunu nasıl bileceğiz?”

Öğrenci doğal olarak “Bilemeyiz” diyecektir. İşte tam o anda \(+C\) tanıtılırsa kavram kalıcı hâle gelir.


Örnek 1: \(\int(4x^3-6x+2),dx\) integralini hesaplayalım.

Terim terim açalım ve integrallerini alalım: \(\int4x^3,dx+ \int6x,dx+ \int2,dx\).

Sonuç: \(x^4-3x^2+2x+C\) bulunur.


Örnek 2: \(\int\left(\sqrt{x}+\frac1{x^2}\right)dx?\)

Örneğimizi daha rahat çözebilmek için önce kuvvet biçimine çevirelim:
Birinci ifade \(\sqrt{x}=x^{1/2}\)
İkinci ifade \(\frac1{x^2}=x^{-2}\).

Elimizde öncekine göre daha kolay bir ifade kaldı. Dolayısıyla \(\int x^{1/2},dx+\int x^{-2},dx.\)

Birinci integralin sonucu \(\frac23x^{3/2}\)
İkinci integralin sonucu \(-x^{-1}\) bulunur. İkisini birleştirip sonucu yazarsak: \(\boxed{
\frac23x^{3/2}-\frac1x+C
}\)


Örnek 3: \(\int\left(e^x+3\cos x\right)dx?\)

\(=\)\(\int e^x,dx + 3\int\cos x,dx\)
\(=\)\(e^x+3\sin x+C.\)
Dolayısıyla \(\boxed{
e^x+3\sin x+C
}\)





Kalkülüsün Temel Teoremi (Fundamental Theorem of Calculus), türev ile integral arasındaki ters ilişkiyi kurarak alan hesabı ile eğim hesabını birbirine bağlayan temel ilkedir. Teorem iki ana bölümden oluşur:

 1. Bölüm: İntegral Hesabının Birinci Temel Teoremi 
Sürekli bir fonksiyonun belirli integralinin, üst sınırına göre türevi alındığında fonksiyonun kendisini verdiğini ifade eder.

• Matematiksel İfade: \(f, [a,b]\) aralığında sürekli bir fonksiyon olsun. \(g(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt\) şeklinde tanımlanan \(g(x)\) fonksiyonu için: \(g'(x) = \frac{d}{dx} \left[ \int_{a}^{x} f(t) \, dt \right] = f(x)\)
  
• Anlamı: İntegral alma ve türev alma işlemleri birbirinin tersidir.
  

 2. Bölüm: İntegral Hesabının İkinci Temel Teoremi 
Bir fonksiyonun belirli integralini hesaplamak için limit toplamları (Riemann toplamı) yapmak yerine, fonksiyonun ters türevini (ilkel fonksiyonunu) kullanabileceğimizi gösterir.

• Matematiksel İfade: \(f, [a,b]\) aralığında sürekli ve \(F'(x) = f(x)\) şartını sağlayan bir \(F\) ters türev fonksiyonuna sahip olsun. Bu durumda:\(\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)\)
  
• Anlamı: Eğri altında kalan alanı bulmak için sadece fonksiyonun ters türevini bulup üst ve alt sınır değerlerinin farkını almak yeterlidir.