Şimdi integral serimizin en önemli dönemeçlerinden birine geldik. İlk bölümlerde iki ayrı dünya gördük: \(\text{Türev} \quad \text{ve} \quad \text{İntegral}\)

Türev bize anlık değişimi ve İntegral ise toplam birikimi anlatıyordu. İlk bakışta bunlar birbirinden tamamen farklı görünür ama matematiğin en büyük keşiflerinden biri şudur: \(\boxed{\text{Türev ile integral aslında birbirine çok derinden bağlıdır.}}\)

Bu bağlantıya Kalkülüsün Temel Teoremi denir.


Bu bölümün sonunda öğrenci;

• birikim fonksiyonu kavramını,
  
• integral ile türev arasındaki temel ilişkiyi,
  
• Kalkülüsün Temel Teoremi'nin iki ana kısmını,
  
• neden \(\frac{d}{dx}\int_a^x f(t),dt=f(x)\) olduğunu,
  
• neden \(\int_a^b f(x),dx=F(b)-F(a)\) formülünün çalıştığını,
  
• belirli integral hesaplarında ilkel fonksiyon kullanımını,
  
• başlangıç ve bitiş değerlerinin neden önemli olduğunu,
  
• türev–integral bağlantısının fiziksel anlamını
  

açıklayabilecektir.


Şöyle düşünelim, bir \(f(x)\) fonksiyonumuz var ve bu fonksiyonun grafiği altında kalan alanı ölçüyoruz. (\(a\)) noktasından başlayalım ve (\(x\)) noktasına kadar biriken alanı: \(A(x)\) ile gösterelim.

Yani \(\boxed{
A(x)=\int_a^x f(t),dt
}\) bu ifadeye birikim fonksiyonu diyebiliriz. Burada dikkat edelim üst sınır sabit değildir \(x\) değiştikçe alan da değişmektedir.


Örneğin \(A(x)=\int_0^x f(t),dt\) olsun.

Eğer \(x=1\) ise \(A(1)=\int_0^1 f(t),dt.\)
Eğer \(x=2\) ise \(A(2)=\int_0^2 f(t),dt.\)
Eğer \(x=5\) ise \(A(5)=\int_0^5 f(t),dt.\)

Demek ki (x) ilerledikçe biriken alan değişiyor. Yani \(A(x)\) bir fonksiyondur.


(\(x\)) noktasından \(x+\Delta x\) noktasına geçelim. Birikmiş alanın değişimi \(A(x+\Delta x)-A(x)\) olur. Bu fark, kabaca (\(x\)) ile (\(x+\Delta x\)) arasındaki ince alan şerididir. Şekil çok dar olduğunda bu alan yaklaşık bir dikdörtgendir. Dikdörtgenin yüksekliği \(f(x)\), genişliği \(\Delta x\) olduğundan \(A(x+\Delta x)-A(x)
\approx
f(x)\Delta x.\)


\(\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}
\approx
f(x)\) Sol taraf size tanıdık geliyor mu?

Bu ifade \(A'(x)\) türevinin limit tanımına doğru gidiyor. Şimdi \(\Delta x\rightarrow0\) yapalım. O zaman \(\boxed{
A'(x)=f(x)
}\) elde ederiz. İşte büyük bağlantı burada ortaya çıkar.


Eğer \(A(x)=\int_a^x f(t),dt\) ise \(\boxed{
A'(x)=f(x)
}\) olur. Yani,

Bir fonksiyonun birikimini oluşturup sonra bu birikimin türevini alırsak, başladığımız fonksiyona geri döneriz.

Başka bir deyişle \(f(x)\)'e. Bu, Kalkülüsün Temel Teoremi'nin en önemli ifadelerinden biridir.


Birikim \(A(x)\) sürekli büyüyor veya azalıyor.

Peki bu birikim ne hızla değişiyor? Tam olarak \(f(x)\) hızında. Çünkü küçük bir \(dx\) ilerlemede eklenen miktar yaklaşık \(f(x),dx\) kadardır. O nedenle: \(\frac{dA}{dx}=f(x).\)


Bir depoya su doluyor. Suyun akış hızı \(q(t)\) litre/dakika olsun. Toplam su miktarı \(V(t)\) ise \(V(t)=\int_0^t q(s),ds.\)

Şimdi toplam su miktarının değişim hızını soralım \(V'(t)\) nedir?
Cevap: \(\boxed{
V'(t)=q(t)
}\) olur. Çünkü toplam su miktarının o andaki artış hızı, musluğun o andaki akış hızıdır. İşte \(\boxed{
\text{Birikimin türevi = anlık katkı hızı}
}\) fikri budur.


Bir aracın hızı \(v(t)\) olsun. Başlangıçtan (\(t\)) anına kadar oluşan yer değiştirme \(\int_0^t v(u),du.\)

Türev alırsak \(v(t)\). Yani tekrar \(\boxed{
s'(t)=v(t)
}\) sonucuna döneriz. Bu yüzden türev ve integral birbirinin ters yönlü süreçleridir.


\(\int_a^x f(t),dt.\) ifadesine dikkat edin. Peki neden \(f(x),dx\) yazmadık?

Çünkü burada dışarıdaki \(x\) üst sınır olarak görev yapıyor. İntegralin içinde kullanılan \(t\) ise yalnızca geçici bir değişkendir. Buna bazen Kukla değişken denir. Yani \(\int_a^x f(t),dt\) ile \(\int_a^x f(u),du\) aynı şeyi ifade eder.




Eğer (\(f\)) fonksiyonu uygun koşulları sağlıyorsa ve \(A(x)=\int_a^x f(t),dt\) ise \(\boxed{
A'(x)=f(x)
}\) olur. Bu teorem, integral ile türev arasındaki doğrudan bağı kurar.


Bir (\(F(x)\)) fonksiyonu düşünelim. Eğer \(F'(x)=f(x)\) ise, yani (\(F\)), (\(f\))'nin bir ilkel fonksiyonuysa \(F(b)-F(a)\) olur. İşte bu, belirli integralleri hesaplamamızı sağlayan en güçlü sonuçlardan biridir.


Hatırlayın belirli integralin tanımı şuydu: \(\lim_{n\to\infty}
\sum_{i=1}^{n}
f(x_i^*)\Delta x.\)

Yani integral hesaplamak için teorik olarak:

• aralığı böl,
  
• dikdörtgen oluştur,
  
• toplam yap,
  
• limit al
  

gibi oldukça uzun bir süreç gerekiyordu. Ama Kalkülüsün Temel Teoremi bize diyor ki: Eğer (f(x))'in bir ilkel fonksiyonunu biliyorsan, bütün bu Riemann toplamını tek tek hesaplamana gerek yok. Sadece \(F(b)-F(a)\) yı hesapla. Bu muazzam bir kısayoldur.


\(\int_0^2 2x,dx\) integralini hesaplayalım:

Önce (\(2x\))'in bir ilkel fonksiyonunu bulalım.\(F(x)=x^2\). Çünkü \(F'(x)=2x.\)

Şimdi \(F(2)-F(0)\) hesaplayalım. \(2^2-0^2=4.\)

Dolayısıyla \(\boxed{
\int_0^2 2x,dx=4
}\) olur.


Belirli integral hesaplarında sıklıkla şu gösterimi kullanırız \(\left[F(x)\right]_a^b\)

Bu ifade \(F(b)-F(a)\) anlamına gelir.

Örneğin \(\left[x^2\right]_0^2\) \(= 2^2-0^2\) \(=4.\)


\(\int_1^3 x^2,dx\) integralini hesaplayalım. İlkel fonksiyon \(F(x)=\frac{x^3}{3}.\)

Şimdi \(\left[
\frac{x^3}{3}
\right]_1^3\) yazalım.

\(\frac{27}{3}\) \(-\) \(\frac{1}{3}\) \(=\) \(\frac{26}{3}.\)

Dolayısıyla \(\boxed{
\int_1^3x^2,dx=\frac{26}{3}
}\) olur.


Bu çok önemli bir sorudur. \(F(x)\) fonksiyonunu düşünelim. Eğer \(F'(x)=f(x)\) ise, (\(F(x)\))'teki toplam değişim \(F(b)-F(a)\) dir.

İntegral de (\(a\)) ile (\(b\)) arasındaki toplam birikimi verdiği için \(F(b)-F(a)\) olur. Bu nedenle belirli integral:

Bir niceliğin başlangıç ve bitiş arasındaki net değişimini ölçebilir.

Eğer \(v(t)=s'(t)\) ise \(s(t_2)-s(t_1).\) Yani \(\text{Konumdaki değişim}\) olur. Bu, Kalkülüsün Temel Teoremi'nin fiziksel anlamıdır.


Bir nüfusun büyüme hızı \(P'(t)\) olsun. O zaman \(\int_a^b P'(t),dt\) bize \(P(b)-P(a)\) değerini verir. Yani \(\boxed{
\int_a^b P'(t),dt=P(b)-P(a)
}\) Bu ilişki sadece geometriyle ilgili değildir. Birikim yaşayan bütün sistemlerde kullanılabilir.




Eğer \(F'(x)=f(x)\) ise \(F(b)-F(a)\) olur. Bu bize belirli integralleri ilkel fonksiyon kullanarak hesaplama imkânı verir.


Birinci kısım \(f(x)\) birikimin türevi, anlık katkıyı verir.
İkinci kısım \(F(b)-F(a)\) anlık değişimlerin toplamı, toplam değişimi verir. Bu iki sonuç birlikte \(\boxed{
\text{TÜREV}
\leftrightarrow
\text{İNTEGRAL}
}\) bağlantısını kurar.


\(A(x)=\int_0^x t^2,dt\) integral fonksiyonunu düşünelim. Kalkülüsün Temel Teoremi'ne göre \(\boxed{
A'(x)=x^2
}\) olur. Ama istersek (\(A(x)\))'i açık biçimde de bulabiliriz \(A(x)=\frac{x^3}{3}.\) Çünkü \(\left[
\frac{t^3}{3}
\right]_0^x\) \(=\) \(\frac{x^3}{3}.\)
Şimdi türev \(A'(x)=x^2.\) Yani iki yöntem aynı sonucu verir.




Eğer \(A'(x)=f(x)\) ise (\(f(x)\))'in işareti bize (\(A(x)\))'in davranışını söyler.

Eğer \(f(x)>0\) ise \(A'(x)>0\) ve (\(A(x)\)) artar.

Eğer \(f(x)<0\) ise \(A'(x)<0\) ve (\(A(x)\)) azalır.

Eğer \(f(x)=0\) ise o noktada \(A'(x)=0.\)

Bu bağlantı ileride grafik yorumlarında çok önemli olacaktır.


Eğer \(A'(x)=f(x)\) ise \(A''(x)=f'(x).\)

Dolayısıyla (\(f\))'nin artıp azalması, (\(A\))'nın eğriliği hakkında bilgi verir. Örneğin \(f'(x)>0\) ise \(A''(x)>0\) olur. Bu durumda (\(A(x)\)) yukarı doğru kavislidir. Bu ilişki grafik analizinde çok değerlidir.


\(\int_0^2(3x^2+2x+1),dx\) integralini hesaplayalım.
İlkel fonksiyon \(F(x)=x^3+x^2+x.\)

Şimdi \(\left[
x^3+x^2+x
\right]_0^2\)\(=\)\((8+4+2)-(0+0+0)\)\(=\)\(=14.\)

Dolayısıyla \(\boxed{
\int_0^2(3x^2+2x+1),dx=14
}\)


\(\int_0^2(-3),dx\) integralini düşünelim. İlkel fonksiyon \(F(x)=-3x.\) O hâlde \([-3x]_0^2\) \(=-6-0\) \(=-6.\)
Dolayısıyla \(\boxed{
\int_0^2(-3),dx=-6
}\)
İntegralde sonuç negatif olabilir. Çünkü belirli integral işaretli birikimi ölçer.


\(\int_a^b f(x),dx\) integralini düşünelim. Sınırları ters çevirirsek \(\int_b^a f(x),dx\) olur. Kalkülüsün Temel Teoremi ile \(F(a)-F(b)\) elde ederiz. Bu da \(-[F(b)-F(a)]\) demektir. Dolayısıyla \(-\int_a^b f(x),dx\) olur. Yani \(\int_b^a f(x),dx\)\(=\)\(-\int_a^b f(x),dx\) dir.


Eğer \(a=b\) ise \(\int_a^a f(x),dx\) ifadesinde aralık yoktur. Bu nedenle \(\boxed{
\int_a^a f(x),dx=0
}\) olur. Kalkülüsün Temel Teoremi ile de \(F(a)-F(a)=0.\)


Eğer \(a<c<b\) ise \(\int_a^c f(x),dx + \int_c^b f(x),dx\) olur. Bu son derece doğal bir sonuçtur. Çünkü toplam birikimi iki parçaya bölebiliriz. Örneğin:
\(\int_0^2 f(x),dx + \int_2^5 f(x),dx\).


Kalkülüsün Temel Teoremi'nin çok önemli bir yorumu vardır. Eğer \(Q'(x)\) bir niceliğin değişim hızını veriyorsa \(Q(b)-Q(a)\) olur. Buna  Net Değişim Teoremi  denir. Yani Değişim hızlarının toplamı, niceliğin toplam değişimini verir.


Çünkü pek çok gerçek hayat problemi aslında şu yapıya sahiptir: \(\text{Başlangıç miktarı} + \text{Toplam değişim}\).

Toplam değişim \(\int_a^b \text{değişim hızı},dt\) ile bulunur.

Dolayısıyla \(\text{Başlangıç miktarı} + \int_a^b \text{değişim hızı},dt\)

Bu formül fizik, ekonomi, biyoloji ve mühendislikte sürekli karşımıza çıkar.


Bir depoya su giriş hızı \(q(t)=2t+1\) litre/dakika olsun.

Başlangıçta depoda \(10\) litre su bulunsun. İlk 3 dakikada eklenen su \(\int_0^3(2t+1),dt.\)

İlkel fonksiyon \(t^2+t.\)

Şimdi \([t^2+t]_0^3\)
\(=9+3\)
\(=12.\)

Depoda başlangıçta 10 litre vardı. Son miktar \(10+12=\) \(\boxed{22\text{ litre}}\) dir.




Bu çok önemli.

\(\int_a^b f(x),dx\) integrali,

• grafik açısından işaretli alan olabilir.
  
• Fizik açısından yer değiştirme olabilir.
  
• Biyolojide nüfus değişimi olabilir.
  
• Ekonomide toplam gelir değişimi olabilir.
  

Dolayısıyla integralin anlamını belirleyen şey  yalnızca formül değil, problemin bağlamı dır.


Belirli integralde bazen öğrenci şöyle yapar: \([x^2+C]_0^2\).

Bu teknik olarak sabitler zaten birbirini götürecektir: \((4+C)-(0+C)=4.\)

Ama belirli integral hesaplarında \(+C\) yazmaya gerek yoktur. Pratikte: \([F(x)]_a^b\) şeklinde çalışılır.


Örneğin \(\int_1^3 x^2,dx\) için öğrenci \(\frac{3^3}{3}=9\) yazabilir. Ama alt sınırı unutmuştur. Doğru işlem \(\frac{3^3}{3}-\)\(\frac{1^3}{3}\) olmalıdır. Yani \(\boxed{
F(b)-F(a)
}\) her zaman üst değer eksi alt değer şeklindedir.


Pedagojik olarak, “Türev ve integral birbirinin tersidir.” demek başlangıç için faydalıdır. Ama daha doğru ifade  "Kalkülüsün Temel Teoremi uygun koşullar altında türev ve integral işlemlerini birbirine bağlar."  Çünkü belirli integral ve belirsiz integral kavramları aynı yapıda değildir. Bu ayrımı korumak öğrencinin ileri konularda hata yapmasını önler.


Şimdi biraz ileri gidelim. Örneğin \(A(x)=\int_0^{x^2} f(t),dt.\) Burada üst sınır doğrudan \(x\) değil \(x^2\) dir. Önce Temel Teorem, sonra zincir kuralı uygulanır: \(f(x^2)\cdot2x\)

Bu çok önemli bir sonuçtur. Genel olarak \(f(g(x))g'(x)\) olur.


\(F(x)=\int_1^{x^3}\cos t,dt\) olsun. Türevi \(\cos(x^3)\cdot3x^2.\) Dolayısıyla \(\boxed{
F'(x)=3x^2\cos(x^3)
}\)



\(G(x)=\int_x^5 f(t),dt\) integralini düşünelim. Sınırların ters çevrilmesi özelliğini kullanalım: \(-\int_5^x f(t),dt.\)

Türevi \(\boxed{
G'(x)=-f(x)
}\) olur. Bu eksi işareti çok önemlidir.


Daha genel olarak \(H(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}f(t),dt\) ise:

\(f(v(x))v'(x)\)
\(f(u(x))u'(x)\)

olur. Bu formül ileride ileri düzey sorularda çok işimize yarayacaktır.


Kalkülüsün Temel Teoremi öğrencinin karşısına doğrudan \(\int_a^b f(x),dx=F(b)-F(a)\) formülü olan birikim fonksiyonu oluşturulmalı ve öğrenciden,

“(x)'i çok az artırırsak alan ne kadar artar?”

diye düşünmesi istenmelidir. Öğrenci \(\text{alan artışı}
\approx
f(x)\Delta x\) ilişkisini gördüğünde \(\frac{\Delta A}{\Delta x}
\approx
f(x)\) sonucuna doğal olarak ulaşır. Sonra limit ile \(A'(x)=f(x)\) elde edilir. Böylece Temel Teorem bir ezber değil, zorunlu bir sonuç gibi görünür.


Artık integral serimizin ilk dört bölümünü tek bir zincirde birleştirebiliriz:

Artık büyük resim görünmeye başladı.