Bu bölümde ne öğreneceğiz? Bu bölümün sonunda öğrenciler:

• Küme düşüncesinin günlük hayattan nasıl doğduğunu açıklayabilecek,
  
• İnsanların neden nesneleri sınıflandırma ihtiyacı duyduğunu kavrayabilecek,
  
• Matematiksel anlamdaki küme kavramına sezgisel olarak yaklaşabilecek,
  
• Georg Cantor’un kümeler kuramındaki yerini tanıyabilecek,
  
• Bir topluluğun küme olabilmesi için gereken temel şartı fark edebilecektir.

Bir sınıfa girdiğimizi düşünelim. Bu sınıfta:

• Gözlük kullanan öğrenciler,
  
• Futbol oynayan öğrenciler,
  
• Kitap okumayı seven öğrenciler,
  
• Matematik dersini seven öğrenciler,
  
• Boyu 160 santimetreden uzun öğrenciler

bulunuyor olsun. Bütün öğrenciler aynı sınıfta olmasına rağmen onları farklı özelliklerine göre gruplandırabiliyoruz. Peki neden?

Çünkü insan zihni çevresindeki varlıkları anlamlandırmak için onları ortak özelliklerine göre bir araya getirir. Örneğin:

• Kitapları konularına göre,
  
• Hayvanları türlerine göre,
  
• Sayıları özelliklerine göre,
  
• Öğrencileri sınıflarına göre,
  
• Dosyaları içeriklerine göre

gruplandırırız.

İşte kümeler konusunun temelinde bu son derece doğal düşünce vardır:

Belirli nesneleri, aralarında bulunan ortak bir özelliğe göre bir araya getirmek.

Şimdi düşünün! Aşağıdakilerden hangileri belirli bir topluluk oluşturur?

• Sınıftaki kız öğrenciler
  
• Sınıftaki çalışkan öğrenciler
  
• Sınıftaki 15 yaşından büyük öğrenciler
  
• Sınıftaki en sempatik öğrenciler
  
• Sınıftaki gözlük kullanan öğrenciler

Bu sorunun cevabını hemen vermeyelim. Çünkü biraz sonra kümelerin en önemli şartlarından birini bu örnek üzerinden keşfedeceğiz.


“Küme” kelimesini kullanmasak bile gündelik hayatta sürekli kümeler oluştururuz. Bir mutfak dolabında:

• Tabaklar bir bölmede,
  
• Bardaklar başka bir bölmede,
  
• Çatal ve kaşıklar çekmecede,
  
• Baharatlar ayrı bir rafta

bulunabilir.

Bir kütüphanede kitaplar:

• Matematik,
  
• Tarih,
  
• Edebiyat,
  
• Bilim,
  
• Felsefe

gibi alanlara ayrılabilir.

Bir telefondaki kişiler:

• Aile,
  
• Arkadaşlar,
  
• Öğrenciler,
  
• İş arkadaşları

şeklinde gruplandırılabilir.

Bir müzik uygulamasında ise şarkılar:

• Türkçe şarkılar,
  
• Yabancı şarkılar,
  
• Hareketli şarkılar,
  
• Son eklenen şarkılar

gibi listelerde toplanabilir.

Bunların tamamında yapılan işlem aynıdır:

• Bazı nesneler seçilir.
  
• Bu nesneleri bir araya getiren bir özellik belirlenir.
  
• Seçilen nesneler bir topluluk hâlinde düşünülür.

Bu nedenle kümeler konusu yalnızca matematikte yapılan sembolik işlemlerden ibaret değildir. Küme düşüncesi; sınıflandırmanın, düzenlemenin ve karşılaştırmanın matematiksel dilidir.


Düşünün ki bir markette bütün ürünler gelişigüzel biçimde yere bırakılmış olsun. Ekmek, deterjan, kalem, süt, oyuncak ve sebzeler birbirine karışmış durumda. Aradığımız ürünü bulmak son derece zor olurdu. Fakat ürünleri:

• Yiyecekler,
  
• İçecekler,
  
• Temizlik malzemeleri,
  
• Kırtasiye ürünleri,
  
• Oyuncaklar

şeklinde gruplandırırsak işimiz kolaylaşır.

Demek ki sınıflandırma:

• Karmaşıklığı azaltır,
  
• Bilgiye ulaşmayı kolaylaştırır,
  
• Benzerlikleri görmemizi sağlar,
  
• Farklılıkları ayırt etmemize yardımcı olur,
  
• Nesneler arasındaki ilişkileri ortaya çıkarır.

Kümeler kuramı, insan zihninin bu doğal sınıflandırma eğilimini matematiksel bir sisteme dönüştürür.


Şimdilik kümeyi şöyle açıklayabiliriz:

İyi tanımlanmış ve birbirinden ayırt edilebilen nesneler topluluğuna küme denir.

Buradaki en önemli ifade “iyi tanımlanmış” sözüdür. Peki iyi tanımlanmış olmak ne demektir?

Bir nesnenin verilen topluluğa girip girmediğine kesin olarak karar verebiliyorsak o topluluk iyi tanımlanmıştır.

Örneğin: 10’dan küçük doğal sayılar iyi tanımlanmış bir topluluktur.
Çünkü herhangi bir doğal sayı verildiğinde bu topluluğa ait olup olmadığına kesin olarak karar verebiliriz.

• 4, bu topluluğa girer.
  
• 9, bu topluluğa girer.
  
• 12, bu topluluğa girmez.

Karar kişiden kişiye değişmez.

Ancak, "en güzel doğal sayılar" ifadesi iyi tanımlanmış değildir. Çünkü “güzel” sözcüğü kişisel bir değerlendirmedir. Bir öğrenci 7 sayısını güzel bulabilir, başka bir öğrenci 10 sayısını güzel bulabilir. Hangi sayıların seçileceği konusunda kesin ve ortak bir ölçüt yoktur.


Bir topluluğun matematiksel anlamda küme kabul edilebilmesi için üyeliğin kesin olması gerekir. Bir nesne için şu iki karardan biri verilebilmelidir:

• Bu topluluğa aittir.
  
• Bu topluluğa ait değildir.

Arada belirsiz bir durum kalmamalıdır.

Örnek 1: Haftanın “P” harfiyle başlayan günleri. Bu topluluğun elemanlarını kesin olarak belirleyebiliriz:

• Pazartesi
  
• Perşembe
  
• Pazar

Dolayısıyla bu topluluk bir küme oluşturur.

Örnek 2: Haftanın en güzel günleri. Bu topluluk iyi tanımlanmamıştır. Çünkü bir öğrenci cumartesiyi, başka biri pazarı, bir başkası da cumayı en güzel gün olarak görebilir. Dolayısıyla “güzel” sözcüğünün nesnel bir ölçütü verilmediği sürece bu ifade matematiksel anlamda bir küme belirtmez.

🎯 Belirleyici soru

Bir topluluğun küme olup olmadığını anlamak için şu soruyu sorabiliriz: Elimde herhangi bir nesne olduğunda, bu nesnenin topluluğa ait olup olmadığına kesin biçimde karar verebilir miyim?
Cevabımız “evet” ise topluluk iyi tanımlanmıştır.
Cevabımız “kişiye göre değişir” veya “tam olarak belli değil” ise topluluk iyi tanımlanmamıştır.

Dersin başında şu toplulukları vermiştik:

1. Sınıftaki kız öğrenciler
   
2. Sınıftaki çalışkan öğrenciler
   
3. Sınıftaki 15 yaşından büyük öğrenciler
   
4. Sınıftaki en sempatik öğrenciler
   
5. Sınıftaki gözlük kullanan öğrenciler

Şimdi bunları inceleyelim.

1. Sınıftaki kız öğrenciler: Kimin bu topluluğa ait olduğu belirlenebilir. Bu nedenle küme oluşturur.
   
2. Sınıftaki çalışkan öğrenciler: “Çalışkan” kavramının ölçütü belirtilmemiştir.  Öğretmenlerin değerlendirmeleri farklı olabilir.  Bu hâliyle iyi tanımlanmış değildir. Ancak, "Bu dönem en az 30 gün düzenli ders çalışan öğrenciler" ölçütünü belirginleşitirirsek ve topluluk iyi tanımlanmış hâle gelir.
   
3. Sınıftaki 15 yaşından büyük öğrenciler: Yaş ölçülebilir ve karşılaştırılabilir. Bu nedenle küme oluşturur.
   
4. Sınıftaki en sempatik öğrenciler: “Sempatik” kişiden kişiye değişebilir. Bu nedenle iyi tanımlanmış değildir.
   
5. Sınıftaki gözlük kullanan öğrenciler: Kimin gözlük kullandığı belirlenebilir. Bu nedenle küme oluşturur.

Bir ifadenin öznel olması, onun hiçbir zaman küme oluşturamayacağı anlamına gelmez. Belirsizliğe neden olan kavram için ölçülebilir bir şart koyabiliriz.

Belirsiz ifade	Daha iyi tanımlanmış ifade
Sınıfın başarılı öğrencileri	Matematik notu 85 ve üzeri olan öğrenciler
Uzun boylu öğrenciler	Boyu 170 cm’den uzun öğrenciler
Çok kitap okuyanlar	Ayda en az dört kitap okuyanlar
Genç insanlar	Yaşı 18 ile 25 arasında olan insanlar
Pahalı telefonlar	Fiyatı 50.000 TL’den yüksek telefonlar

Burada önemli olan kullanılan sayının ne olduğu değil, üyeliği belirleyen ölçütün açıkça verilmesidir. Örneğin “uzun boylu öğrenciler” ifadesi belirsizken “boyu 170 santimetreden uzun öğrenciler” ifadesinde sınır belirlenmiştir.


Öğrencilerin kümeler konusunda yaşadığı ilk kavram yanılgılarından biri, kümelerin yalnızca sayılardan oluştuğunu düşünmeleridir.

Oysa bir kümenin elemanları:

• Sayılar,
  
• Harfler,
  
• İnsanlar,
  
• Şehirler,
  
• Hayvanlar,
  
• Kitaplar,
  
• Şekiller,
  
• Renkler,
  
• Başka kümeler

olabilir.

Örneğin aşağıdaki toplulukların tamamı küme olabilir:

• Türkiye’nin coğrafi bölgeleri
  
• “MATEMATİK” kelimesindeki harfler
  
• 20’den küçük asal sayılar
  
• Güneş sistemindeki gezegenler
  
• Bir sınıftaki öğrenciler
  
• Bir üçgenin köşeleri

Küme kavramında önemli olan elemanların ne olduğu değil, hangi nesnelerin topluluğa ait olduğunun belirli olmasıdır.


Matematikte sürekli olarak belirli türden nesnelerle çalışırız.

Örneğin:

• Doğal sayılar,
  
• Tam sayılar,
  
• Rasyonel sayılar,
  
• Üçgenler,
  
• Sürekli fonksiyonlar,
  
• Asal sayılar,
  
• Bir denklemin çözümleri

birer nesne topluluğudur.

Matematikçiler şu tür sorularla karşılaşır:

• Hangi sayılar bu denklemi sağlar?
  
• Hangi şekiller belirli bir özelliğe sahiptir?
  
• İki topluluğun ortak elemanları nelerdir?
  
• Bir topluluk diğerinin içinde midir?
  
• Bir özellik taşıyan kaç nesne vardır?
  
• Sonsuz toplulukların büyüklükleri karşılaştırılabilir mi?

Bu sorulara düzenli ve ortak bir dil içinde cevap verebilmek için kümeler kuramına ihtiyaç duyuldu.

Bugün kümeler:

• Sayıların,
  
• Fonksiyonların,
  
• Geometrinin,
  
• Olasılığın,
  
• İstatistiğin,
  
• Mantığın,
  
• Bilgisayar biliminin

temelinde yer alır.

Bu yüzden kümeler, matematik binasının yalnızca küçük bir odası değil; binanın birçok bölümünü birbirine bağlayan ortak bir dil gibidir.



İnsanlar çok eski çağlardan beri nesneleri sınıflandırıyordu. Sayılar, geometrik şekiller, hayvanlar ve gök cisimleri çeşitli gruplara ayrılıyordu.

Antik Yunan matematikçileri de sayıları özelliklerine göre sınıflandırmıştı:

• Tek sayılar,
  
• Çift sayılar,
  
• Asal sayılar,
  
• Mükemmel sayılar

gibi.

Ancak bu çalışmalar günümüzdeki anlamıyla sistemli bir kümeler kuramı oluşturmuyordu.

Kümelerin bağımsız ve sistematik bir matematik kuramına dönüşmesi büyük ölçüde 19. yüzyılda gerçekleşti. Bu dönüşümün merkezinde Alman matematikçi Georg Cantor bulunuyordu.


Georg Cantor, 1845 yılında doğdu. Cantor’un çalışmaları başlangıçta doğrudan “küme nedir?” sorusundan başlamadı. Cantor, matematiksel analizde ve özellikle fonksiyonların trigonometrik serilerle gösterilmesiyle ilgili problemler üzerinde çalışıyordu. Bu araştırmalar sırasında sayı topluluklarını ve sonsuz sayıda elemandan oluşan yapıları daha dikkatli incelemesi gerekti. Bu çalışmalar onu son derece şaşırtıcı bir soruya götürdü: Bütün sonsuzluklar aynı büyüklükte midir?

Günlük düşüncemize göre sonsuz, yalnızca “sonu olmayan” anlamına gelir. Bu nedenle iki sonsuz topluluğun büyüklüklerini karşılaştırmak ilk bakışta anlamsız görünebilir. Fakat Cantor, sonsuz toplulukların bile büyüklük bakımından karşılaştırılabileceğini gösterdi.



Doğal sayıları düşünelim: \(\mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,5,\ldots\}\)
Çift doğal sayıları da şöyle yazalım: \(Ç=\{0,2,4,6,8,10,\ldots\}\)

Çift sayılar, doğal sayıların yalnızca bir bölümüdür. Bu nedenle ilk bakışta çift sayıların daha az olduğunu düşünebiliriz. Fakat doğal sayılarla çift sayıları şöyle eşleştirebiliriz:

Doğal sayı	........	Çift doğal sayı
0		0
1		2
2		4
3		6
4		8
5		10
\(\vdots\)		\(\vdots\)

Her doğal sayıyı iki katıyla eşleştiriyoruz: \(n\longleftrightarrow 2n\)
Bu eşleştirmede:

• Her doğal sayının bir karşılığı vardır.
  
• Her çift doğal sayı bir doğal sayıyla eşleşir.
  
• Hiçbir eleman açıkta kalmaz.

Böylece doğal sayılar kümesi ile çift doğal sayılar kümesinin aynı sayıda elemana sahip olduğu sonucuna ulaşırız. Bu durum sonlu kümelerde görülmez.

Örneğin: \(A=\{1,2,3,4\}\) ve \(B=\{2,4\}\) kümelerinde \(B\), \(A\)’nın bir parçasıdır ve daha az elemana sahiptir. Fakat sonsuz kümelerde bir kümenin gerçek bir parçası, kümenin tamamıyla eşleştirilebilir. Sonsuzluğun şaşırtıcı özelliklerinden biri budur.


Cantor’un daha da şaşırtıcı sonucu şuydu:

Bazı sonsuz kümeler, başka sonsuz kümelerden daha büyüktür.

Doğal sayılar sonsuzdur. Gerçek sayılar da sonsuzdur. Ancak Cantor, gerçek sayıların (reel sayıların) doğal sayılarla tek tek eşleştirilemeyeceğini gösterdi. Başka bir ifadeyle gerçek sayıların sonsuzluğu, doğal sayıların sonsuzluğundan daha büyüktür. Bu düşünce döneminde büyük tartışmalara yol açtı. Çünkü matematikçiler sonsuzluğu uzun süre tamamlanmış bir nesne gibi değil, sürekli devam eden bir süreç gibi ele almıştı. Cantor ise sonsuz toplulukları matematiksel nesneler olarak incelemeye başladı. Bu çalışmalar modern kümeler kuramının doğuşunda belirleyici oldu.


Cantor, kümeyi genel olarak algımızın veya düşüncemizin belirli ve birbirinden farklı nesnelerinin bir bütün olarak bir araya getirilmesi şeklinde ele aldı. Bu açıklamadaki nesnelere daha sonra kümenin elemanları diyeceğiz.

Örneğin, \(A=\{2,4,6,8\}\) ifadesinde \(A\) bir kümedir. Bu kümenin elemanları, \(2,\ 4,\ 6,\ 8\) sayılarıdır. Fakat sembolleri ve gösterim kurallarını bir sonraki bölümde ayrıntılı biçimde öğreneceğiz. Şimdilik asıl düşünceyi kavramamız yeterlidir:

Küme, belirli nesneleri tek bir matematiksel bütün olarak ele almamızı sağlar.

Bir matematik cümlesi düşünelim: \(x^2=4\) denklemini sağlayan gerçek sayılar \(-2\) ve \(2\)’dir.

Bunu kümeler yardımıyla daha kısa ve düzenli biçimde ifade edebiliriz: \(\{x∈R∣x^2=4\}=\{−2,2\}\)

Öğrenci bu gösterimi henüz bilmiyor olabilir. Burada amaç sembolleri öğretmek değil, kümelerin matematiksel düşünceyi nasıl düzenlediğini göstermektir.

Kümeler sayesinde:

• Nesneleri bir arada gösterebiliriz.
  
• Toplulukları karşılaştırabiliriz.
  
• Ortak elemanları bulabiliriz.
  
• Bir grubun başka bir grubun içinde olup olmadığını inceleyebiliriz.
  
• Bir problemin çözüm topluluğunu gösterebiliriz.
  
• Matematiksel düşünceleri kısa ve kesin biçimde ifade edebiliriz.

Bu nedenle kümeler konusu, yalnızca sınavlarda soru çözmek için öğrenilen bağımsız bir konu değildir. Öğrenci ileride:

• Fonksiyon,
  
• Denklem,
  
• Eşitsizlik,
  
• Olasılık,
  
• Mantık,
  
• Geometri,
  
• Analiz

öğrenirken sürekli küme düşüncesiyle karşılaşacaktır.


Günlük dil belirli ölçüde esnek olabilir. Örneğin, Bugün hava biraz sıcak. Bu cümle günlük iletişimde yeterli olabilir. Ancak “biraz sıcak” ifadesinin kesin bir sınırı yoktur.

Matematik dili ise  kesinlik  ister: Hava sıcaklığı \(30^\circ\text{C}\)’nin üzerindedir. Burada ölçüt açıktır.

Benzer şekilde "büyük sayılar" ifadesi  belirsiz dir. Fakat, "100’den büyük doğal sayılar" ifadesi  iyi tanımlanmış tır.

Kümeler konusu, öğrencinin günlük dilden matematik diline geçiş yaptığı önemli konulardan biridir.


Şu ifadeyi inceleyelim:

Sınıftaki 15 yaşından büyük öğrenciler

Bu kümenin elemanları sınıfa göre değişir. Bir sınıfta üç öğrenci bu özelliği taşırken başka bir sınıfta hiç kimse taşımayabilir. Fakat topluluğu belirleyen ölçüt yine de açıktır. Dolayısıyla, Bir kümenin elemanlarının zamana veya duruma göre değişebilmesi, onun mutlaka belirsiz olduğu anlamına gelmez. Önemli olan, belirli bir zaman ve bağlam içinde üyelik kararının kesin olarak verilebilmesidir. Örneğin, "31 Ağustos 2026 tarihinde sınıfta bulunan öğrenciler" ifadesi iyi tanımlanmıştır. Başka bir tarihte sınıfta bulunanlar değişebilir; fakat verilen tarih için üyelik belirlenebilir.


Etkinliğin adı: Küme mi, değil mi?
Amaç: Öğrencilerin “iyi tanımlanmış topluluk” kavramını kendilerinin keşfetmesini sağlamak.
Uygulama: Tahtaya aşağıdaki ifadeler yazılır:

1. Sınıftaki sarı saçlı öğrenciler
   
2. Sınıfın en başarılı öğrencileri
   
3. Adında “a” harfi bulunan öğrenciler
   
4. Güzel şarkılar
   
5. 20’den küçük pozitif çift sayılar
   
6. Büyük doğal sayılar
   
7. Türkiye’nin başkentleri
   
8. Türkiye’nin coğrafi bölgeleri
   

Öğrencilerden ifadeleri iki gruba ayırmaları istenir:

• Kime sorsak aynı sonuca ulaşacağımız topluluklar
  
• Cevabı kişiden kişiye değişebilecek topluluklar
  
• Beklenen değerlendirme
  

👨‍🏫 İfade	👩🏻‍🎓 Küme oluşturur mu?	✅ Gerekçe
Sarı saçlı öğrenciler	Genellikle evet	Gözlenebilir bir ölçüt vardır.
En başarılı öğrenciler	Bu hâliyle hayır	Başarının ölçütü belirtilmemiştir.
Adında “a” bulunanlar	Evet	Harf kontrol edilebilir.
Güzel şarkılar	Hayır	Güzellik öznel bir yargıdır.
20’den küçük pozitif çift sayılar	Evet	Matematiksel şart açıktır.
Büyük doğal sayılar	Hayır	“Büyük” için sınır verilmemiştir.
Türkiye’nin başkentleri	Evet	Elemanı Ankara olan bir kümedir.
Türkiye’nin coğrafi bölgeleri	Evet	Elemanları belirlenebilir.

Etkinliğin sonunda öğrencilere şu soru yöneltilir,

👨‍🏫 Öğretmen sorusu

Küme olan ifadelerin ortak özelliği nedir?

Öğrencilerin “elemanların kesin olarak belirlenebilmesi” fikrine ulaşmaları sağlanır. Tanım mümkün olduğunca öğrencinin keşfinden sonra verilmelidir.


Yanılgı 1: “Çok sayıda nesne varsa kümedir.”
Hayır. Eleman sayısının fazla olması yeterli değildir. “Dünyadaki güzel şehirler” çok sayıda şehir içerebilir; fakat “güzel” kavramı öznel olduğu için iyi tanımlanmış değildir.

Yanılgı 2: “Tek elemanlı topluluk küme değildir.”
Yanlış. Bir kümenin yalnızca bir elemanı olabilir. Örneğin, "Türkiye’nin başkentleri" topluluğunda yalnızca Ankara bulunur. Yine de bu bir kümedir.

Yanılgı 3: “Hiç elemanı olmayan topluluk küme değildir.”
Yanlış. Hiç elemanı olmayan topluluk da bir kümedir ve buna boş küme denir. Örneğin, "3 ile 4 arasındaki doğal sayılar" topluluğunda hiçbir eleman yoktur. Buna rağmen bu topluluk iyi tanımlanmıştır. Çünkü herhangi bir doğal sayının bu topluluğa ait olup olmadığına kesinlikle karar verebiliriz. Boş kümeyi ilerleyen bölümde ayrıntılı olarak inceleyeceğiz.

Yanılgı 4: “Kümenin elemanları mutlaka sayı olmalıdır.”
Yanlış. Bir kümenin elemanları şehir, insan, harf, renk veya başka türden nesneler olabilir.

Yanılgı 5: “Herkes aynı cevabı verdiyse ifade kesinlikle nesneldir.”
Bu her zaman doğru değildir. Bir sınıftaki bütün öğrenciler aynı şarkıyı güzel bulabilir. Fakat bu, “güzel şarkılar” ifadesini nesnel hâle getirmez. Başka bir kişi farklı düşünebilir. Önemli olan insanların tesadüfen aynı görüşte olması değil, üyeliği belirleyen açık ve nesnel bir ölçütün bulunmasıdır.


Derse doğrudan tanımla başlamayın❗️ “İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir.” cümlesi öğrenci tarafından ezberlenebilir; ancak anlaşılmayabilir. Önce iki tür ifade verin:

• 10’dan küçük doğal sayılar
  
• En güzel doğal sayılar

Aralarındaki farkı öğrencilere buldurun. Ardından iyi tanımlanmış olma şartını açıklayın.

Karşıt örneklerden yararlanın
Kavramı yalnızca doğru örneklerle değil, küme belirtmeyen ifadelerle de öğretin:

• Çalışkan öğrenciler
  
• Lezzetli yemekler
  
• Büyük sayılar
  
• Güzel şehirler

Daha sonra öğrencilerden bunları iyi tanımlanmış hâle getirmelerini isteyin.

Öğrencinin gerekçe vermesini sağlayın
“Kümedir” veya “küme değildir” cevabı tek başına yeterli kabul edilmemelidir. Öğrenci şu tür bir gerekçe kurabilmelidir: Bu ifade küme belirtmez; çünkü topluluğa ait olacak nesneler kişiden kişiye değişebilir.

Boş kümeyi erkenden sezdirin
Öğrenciler “topluluk” kelimesinden dolayı en az bir elemanın bulunması gerektiğini düşünebilir. Bu nedenle elemanı olmayan fakat iyi tanımlanmış bir örnek özellikle gösterilmelidir.


Her ifadenin karşısına “küme belirtir” veya “küme belirtmez” yazınız ve gerekçenizi açıklayınız.

1. Türkiye’deki güzel şehirler
   
2. 50’den küçük tek doğal sayılar
   
3. Alfabemizdeki ünlü harfler
   
4. Sınıfın zeki öğrencileri
   
5. Karesi 16 olan gerçek sayılar
   
6. Dünyanın en iyi futbolcuları
   
7. Üç basamaklı doğal sayılar
   
8. Haftanın “S” harfiyle başlayan günleri
   
9. En eğlenceli dersler
   
10. Güneş sistemindeki gezegenler

Cevaplar

1. Küme belirtmez: “Güzel” öznel bir yargıdır.
   
2. Küme belirtir: Tek olma ve 50’den küçük olma şartları açıktır.
   
3. Küme belirtir: Ünlü harfler belirlenebilir.
   
4. Küme belirtmez: Zekânın hangi ölçüte göre değerlendirildiği belirtilmemiştir.
   
5. Küme belirtir: Denklemi sağlayan sayılar kesin olarak bulunabilir.
   
6. Küme belirtmez: “En iyi” için nesnel bir ölçüt verilmemiştir.
   
7. Küme belirtir: Üç basamaklı olma şartı açıktır.
   
8. Küme belirtir: Günlerin adları kontrol edilebilir. Ancak Türkçede “S” harfiyle başlayan bir gün olmadığı için bu, boş kümedir.
   
9. Küme belirtmez: “Eğlenceli” kişiden kişiye değişebilir.
   
10. Küme belirtir: Gezegenler belirli bir sınıflandırmaya göre tanımlanmıştır.

İki öğrenci arasında şu konuşma geçiyor:

Ece: “Sınıfımızdaki uzun boylu öğrenciler bir kümedir.”
Mert: “Hayır, çünkü uzun boylu olmanın sınırı belirtilmemiştir.”

Sizce hangi öğrenci haklıdır?

Değerlendirme
Mert’in itirazı matematiksel açıdan daha güçlüdür. “Uzun boylu” ifadesinin sınırı verilmediğinde üyelik kararı kişiye göre değişebilir.

Fakat sınıf içinde daha önceden şöyle bir kural belirlenmişse, "boyu 170 santimetreden fazla olan öğrenciler uzun boylu" kabul edilecektir. Bu durumda topluluk iyi tanımlanmış olur. Buradan şu sonuca ulaşırız:
Bir ifadenin iyi tanımlanmış olup olmadığı, kullanılan sözcüklerin yanı sıra verilen bağlama ve ölçütlere de bağlıdır.


Bu bölümde öğrendiğimiz temel düşünceler şunlardır:

1. İnsanlar çevrelerindeki nesneleri anlamlandırmak için sınıflandırır.
   
2. Küme düşüncesi bu sınıflandırma ihtiyacının matematiksel biçimidir.
   
3. Bir topluluğun matematiksel anlamda küme olabilmesi için iyi tanımlanmış olması gerekir.
   
4. Bir nesnenin topluluğa ait olup olmadığına kesin olarak karar verilebilmelidir.
   
5. “Güzel”, “başarılı”, “büyük” ve “zor” gibi ifadeler ölçüt verilmediğinde belirsizlik oluşturabilir.
   
6. Bir kümenin elemanları yalnızca sayılar olmak zorunda değildir.
   
7. Tek elemanlı veya hiç elemanı olmayan topluluklar da küme olabilir.
   
8. Georg Cantor, sonsuz kümeleri inceleyerek modern kümeler kuramının temellerini atmıştır.
   
9. Sonsuz kümeler sonlu kümelerden farklı özellikler gösterebilir.
   
10. Kümeler, modern matematiğin ortak ve temel dillerinden biridir.

Bir topluluğu küme yapan şey, elemanlarının çokluğu değil; hangi nesnelerin o topluluğa ait olduğunun kesin olarak belirlenebilmesidir.