Bu dersin sonunda öğrencilerimiz:

• Değişim kavramını matematiksel olarak açıklayabilecek.
  
• Ortalama değişim hızını hesaplayabilecek.
  
• Anlık değişim hızı ile ortalama değişim hızını ayırt edebilecek.
  
• Sekant ve teğet doğrularının anlamını kavrayabilecek.
  
• Türevin temel fikrini limit kavramıyla ilişkilendirebilecek.
  

Bir otomobilin iki saat boyunca 120 kilometre yol aldığını düşünelim.

Ortalama hızı:
\[
v_{\text{ort}}=\frac{120}{2}=60\text{ km/sa}
\]

Peki bu otomobil iki saat boyunca sürekli 60 km/sa hızla mı hareket etmiştir?

Hayır! Bazen 30, bazen 80, bazen de 100 km/sa hızla gitmiş olabilir. İşte matematikçiler şu soruyu sormuştur:


Bir fonksiyonun iki nokta arasındaki ortalama değişim hızı:
\[
\boxed{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}
\]

Bu oran, fonksiyonun çıktısındaki değişimin girdideki değişime oranıdır.

Örneğin:
\[
f(x)=x^2
\]

\(x=1\) ile \(x=3\) arasındaki ortalama değişim hızı:
\[
\frac{f(3)-f(1)}{3-1}
=\frac{9-1}{2}=\boxed{4}
\]

Bu sonuç, grafikte iki noktadan geçen sekant doğrusunun eğimidir.


İki nokta birbirine yaklaştıkça sekant doğrusunun eğimi, P noktasındaki teğetin eğimine yaklaşır.

\(f(x)=x^2\) fonksiyonunda \(x=1\) için:
\[
\frac{f(1+h)-f(1)}{h}
=\frac{(1+h)^2-1}{h}
\]

\[
=\frac{2h+h^2}{h}=2+h
\]

\(h\) sıfıra yaklaştığında bu oran 2'ye yaklaşır. Demek ki fonksiyonun \(x=1\) noktasındaki anlık değişim hızı 2'dir. Bu, türev fikrinin kalbidir.


Örnek 1 – Otomobilin hızı
Bir aracın konumu \(s(t)=3t^2\) metre olsun. \(t=2\) saniye anındaki hızı, türev düşüncesiyle \(s'(2)=12\) m/s olur. Hız göstergesinin anlık olarak ifade ettiği büyüklük budur.

Örnek 2 – Su deposunun dolması
Depodaki su miktarı \(V(t)=5t^2\) litre ise 3. dakikadaki dolma hızı \(V'(3)=30\) litre/dakikadır. Türev burada hacmin ne kadar hızlı değiştiğini gösterir.

Örnek 3 – Bitkinin büyümesi
Bir bitkinin boyu \(h(t)=10+2t+0{,}5t^2\) santimetre olsun. 4. gündeki büyüme hızı \(h'(4)=6\) cm/gün olur. Bu değer bitkinin toplam boyunu değil, o andaki uzama hızını ifade eder.

Soru 1 – Ortalama değişim
\(f(x)=2x^2+1\) fonksiyonunun \([1,3]\) aralığındaki ortalama değişim hızını bulalım.
\[
f(1)=3,\qquad f(3)=19
\]

\[
\frac{19-3}{3-1}=\boxed{8}
\]

Soru 2 – Anlık değişim
\(f(x)=x^2+3x\) fonksiyonunun \(x=2\) noktasındaki anlık değişim hızını tanımdan hesaplayalım.
\[
f(2)=10
\]

\[
f(2+h)=10+7h+h^2
\]

Dolayısıyla:
\[
\lim_{h\to0}\frac{f(2+h)-f(2)}h
=\lim_{h\to0}(7+h)=\boxed7
\]

Soru 3 – Kavramsal yorum
Bir aracın ortalama hızı 50 km/sa ise belirli bir anda hızı kesinlikle 50 km/sa midir?

Çözüm: Hayır. Ortalama hız, toplam yolun toplam zamana oranıdır. Tek başına belirli bir andaki hızı vermez.

Hatalı düşünce	Doğru yaklaşım
Ortalama değişim ile anlık değişim aynıdır.	Ortalama iki nokta, anlık değişim tek bir nokta çevresinde incelenir.
Türev her zaman pozitiftir.	Türev pozitif, negatif veya sıfır olabilir.
Türev fonksiyonun değeridir.	Türev fonksiyonun değişim hızını verir.
\(h=0\) doğrudan yazılır.	Önce limit alınır; sıfıra yaklaşma incelenir.

📖 Yola ile Öğren

Türev 1.Ders

Yola: Hazırsan birlikte düşünelim! Bir cevap seç, takılırsan ipucu iste.

❔ Soru 5✦ Birlikte çözelim

\(f(x)=x^2\) fonksiyonunun [2,4] aralığındaki ortalama değişim hızı kaçtır?

Cevap seçenekleri

A4B6C8D12

✓ Cevabı kontrol et💡 İpucu göster☷ Çözüm adımlarını göster

💬 Farklı çözümünü yorumlarda paylaş ↗

📖 Yola ile Öğren

Türev 1. Ders

Yola: Hazırsan birlikte düşünelim! Bir cevap seç, takılırsan ipucu iste.

❔ Soru 6✦ Birlikte çözelim

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi geometrik olarak neyi ifade eder?

Cevap seçenekleri

AGrafiğin alanınıBFonksiyonun en büyük değeriniCTeğet doğrusunun eğiminiDx eksenini kestiği noktayı

✓ Cevabı kontrol et💡 İpucu göster☷ Çözüm adımlarını göster

💬 Farklı çözümünü yorumlarda paylaş ↗

📖 Yola ile Öğren

Türev 1.Ders

Yola: Hazırsan birlikte düşünelim! Bir cevap seç, takılırsan ipucu iste.

❔ Soru 7✦ Birlikte çözelim

\(f(x)=3x+5\) fonksiyonunun anlık değişim hızı kaçtır?

Cevap seçenekleri

A3B5C8Dx

✓ Cevabı kontrol et💡 İpucu göster☷ Çözüm adımlarını göster

💬 Farklı çözümünü yorumlarda paylaş ↗

📖 Yola ile Öğren

Türev 1.Ders

Yola: Hazırsan birlikte düşünelim! Bir cevap seç, takılırsan ipucu iste.

❔ Soru 8✦ Birlikte çözelim

\(f(x)=x^2\) fonksiyonunun \(x=3\) noktasındaki türevi kaçtır?

Cevap seçenekleri

A3B6C9D12

✓ Cevabı kontrol et💡 İpucu göster☷ Çözüm adımlarını göster

💬 Farklı çözümünü yorumlarda paylaş ↗

Önce ihtiyaç, sonra kavram, en sonunda matematiksel tanım. Öğrenciye doğrudan türev kurallarını ezberletirsek işlem yapabilir ama ne yaptığını anlamayabilir.

Bu yüzden ilk derste üç temel sorunun cevabını vermesini istiyoruz:

• Ortalama değişim hızı nedir?
  
• Anlık değişim hızı neden farklıdır?
  
• İki nokta birbirine yaklaştığında sekantın eğimi neye dönüşür?