Bu dersin sonunda öğrencilerimiz:
- Limit kullanarak bir fonksiyonun türevini hesaplayabilecek.
- Sağdan ve soldan türevin farkını açıklayabilecek.
- Bir fonksiyonun hangi noktalarda türevlenebilir olmadığını belirleyebilecek.
- Süreklilik ile türevlenebilirlik arasındaki ilişkiyi kavrayabilecek.
- Parçalı fonksiyonlarda türevlenebilirlik koşullarını uygulayabilecek.


Birinci dersimizden hatırlayalım:
\(f(x)=x^2\) fonksiyonunun \(x=2\) ile \(x=4\) arasındaki ortalama değişim hızı:
\[
\frac{f(4)-f(2)}{4-2}
=\frac{16-4}{2}=6
\]


Bir \(f\) fonksiyonu \(x=a\) noktasının çevresinde tanımlı olsun.

Limit sonlu bir gerçek sayı olarak varsa fonksiyon o noktada türevlenebilirdir.

Burada \(a\) türevi aradığımız noktayı, \(h\) ise bu noktadan uzaklığımızı temsil eder.

Fark oranı iki nokta arasındaki sekant doğrusunun eğimidir. \(h\) sıfıra yaklaşırken bu eğimin limiti, türev varsa, teğet doğrusunun eğimini verir.

Çözümlü örnek 1
\(f(x)=x^2\) fonksiyonunun \(x=2\) noktasındaki türevini tanımdan bulalım.

Çözüm:
Adım 1 – Fonksiyonun değerini bulalım.
\[
f(2)=2^2=4
\]

Adım 2 – Fonksiyonda \(x=2+h\) yazalım.
\[
f(2+h)=(2+h)^2=4+4h+h^2
\]

Adım 3 – Fark oranını oluşturalım.
\[
\frac{f(2+h)-f(2)}h
=\frac{4h+h^2}{h}=4+h
\]

Adım 4 – Limit alalım.
\[
f'(2)=\lim_{h\to0}(4+h)=\boxed4
\]

Bu sonucun nasıl oluştuğunu sayısal olarak da görelim:

\(h\)	Fark oranı \(4+h\)
1	5
0,1	4,1
0,01	4,01
−0,1	3,9
−0,01	3,99

Her iki yönden de 4'e yaklaşıyoruz.


Bir fonksiyonun bir noktadaki türevini araştırırken o noktaya hem sağdan hem de soldan yaklaşmamız gerekir.

---

Soldan türev  \[ f'_-(a)=\lim_{h\to0^-}\frac{f(a+h)-f(a)}h \]  Negatif h  değerleriyle yaklaşılır.

Sağdan türev  \[ f'_+(a)=\lim_{h\to0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}h \]  Pozitif h  değerleriyle yaklaşılır.

---

Bir iç noktada türevin bulunması için iki tek taraflı türevin de sonlu olması ve birbirine eşit olması gerekir.

\[
\boxed{f'_-(a)=f'_+(a)=f'(a)}
\]

Çözümlü örnek 2 – Mutlak değer fonksiyonu
\[
f(x)=|x|
\]

Bu fonksiyonun \(x=0\) noktasındaki türevini araştıralım.

Çözüm:
Soldan yaklaşalım. \(h\) negatif olduğunda \(|h|=-h\) olur.
\[
f'_-(0)=\lim_{h\to0^-}\frac{|h|}{h}
=\lim_{h\to0^-}\frac{-h}{h}=-1
\]

Sağdan yaklaşalım. \(h\) pozitif olduğunda \(|h|=h\) olur.
\[
f'_+(0)=\lim_{h\to0^+}\frac{|h|}{h}
=\lim_{h\to0^+}\frac{h}{h}=1
\]

\[
-1\ne1
\]

O hâlde:
\[
\boxed{f'(0)\text{ yoktur.}}
\]

Fonksiyonun \(x=0\) noktasında sürekli olması bu sonucu değiştirmez. Bu örnek, sürekliliğin türevlenebilirlik için yeterli olmadığını gösterir.


Bu bölümde öğrencilerimizin özellikle bir mantık hatasından uzak durmasını istiyoruz.


Bir fonksiyon \(a\) noktasında türevlenebiliyor olsun.
\(x\ne a\) için:
\[
f(x)-f(a)=
\frac{f(x)-f(a)}{x-a}(x-a)
\]

Her iki tarafın \(x\to a\) limitini alalım:
\[
\lim_{x\to a}[f(x)-f(a)]
=f'(a)\cdot0=0
\]

Buradan:
\[
\lim_{x\to a}f(x)=f(a)
\]

Bu da fonksiyonun \(a\) noktasında sürekli olduğunu gösterir.



Çözümlü örnek 3
Aşağıdaki fonksiyonun \(x=1\) noktasında türevlenebilir olması için \(m\) ve \(n\) değerlerini bulalım.
\[
f(x)=
\begin{cases}
mx+n,&x<1\\
x^2+1,&x\ge1
\end{cases}
\]
Çözüm:
Adım 1 – Önce sürekliliği sağlayalım.

Sağdaki parçaya göre:
\[
f(1)=1^2+1=2
\]

Soldan limitin de 2 olması gerekir:
\[
m+n=2
\]

Adım 2 – Sağdan ve soldan türevleri eşitleyelim.

Soldaki doğrusal parçanın türevi \(m\), sağdaki \(x^2+1\) parçasının \(x=1\) noktasındaki türevi 2'dir.
\[
m=2
\]

Adım 3 – Diğer bilinmeyeni bulalım.
\[
2+n=2\implies n=0
\]

\[
\boxed{m=2,\quad n=0}
\]

Bu değerler için hem süreklilik hem türevlenebilirlik sağlanır.


1. Hareketli aracın anlık hızı

Bir aracın konumu \(s(t)=t^2+2t\) metre olsun.
\[
s'(t)=2t+2
\]

Üçüncü saniyede \(s'(3)=8\) m/s olur.

2. Sıcaklığın değişme hızı

Sıcaklık \(T(t)=20+3t+0{,}5t^2\) °C olsun. Zaman dakika cinsindedir.
\[
T'(t)=3+t
\]

İkinci dakikada sıcaklık artış hızı 5 °C/dakikadır.

3. Bitkinin büyüme hızı

Bir bitkinin boyu \(H(t)=10+4t-t^2\) cm ile modellensin. Zaman gün cinsindendir.
\[
H'(t)=4-2t
\]

Birinci günde büyüme hızı 2 cm/gündür.

Bu örnekler, türevin farklı alanlardaki kullanımını göstermek için hazırlanmış kuramsal modellerdir. Kullanılan ikinci dereceden fonksiyonların türevleri limit tanımından elde edilebilir.

📖 Yola ile Öğren

Türev 2.Ders (1)

Yola: Hazırsan birlikte düşünelim! Bir cevap seç, takılırsan ipucu iste.

❔ Soru 9✦ Birlikte çözelim

\(f(x)=x^2\) fonksiyonunun x=2 noktasındaki türevi kaçtır?

Cevap seçenekleri

A2B4C6D8

✓ Cevabı kontrol et💡 İpucu göster☷ Çözüm adımlarını göster

💬 Farklı çözümünü yorumlarda paylaş ↗

📖 Yola ile Öğren

Türev 2.Ders (2)

Yola: Hazırsan birlikte düşünelim! Bir cevap seç, takılırsan ipucu iste.

❔ Soru 10✦ Birlikte çözelim

\(f(x)=|x|\) fonksiyonunun \(x=0\) noktasındaki soldan türevi kaçtır?

Cevap seçenekleri

A−1B0C1D2

✓ Cevabı kontrol et💡 İpucu göster☷ Çözüm adımlarını göster

💬 Farklı çözümünü yorumlarda paylaş ↗

📖 Yola ile Öğren

Türev 2.Ders (3)

Yola: Hazırsan birlikte düşünelim! Bir cevap seç, takılırsan ipucu iste.

❔ Soru 11✦ Birlikte çözelim

\(f(x)=|x|\) fonksiyonu x=0 noktasında türevlenebilir mi?

Cevap seçenekleri

AEvet, çünkü süreklidirBHayır, sağ ve sol türevler farklıdırCEvet, çünkü f(0)=0'dırDHayır, çünkü süreksizdir

✓ Cevabı kontrol et💡 İpucu göster☷ Çözüm adımlarını göster

💬 Farklı çözümünü yorumlarda paylaş ↗

📖 Yola ile Öğren

Türev 2.Ders (4)

Yola: Hazırsan birlikte düşünelim! Bir cevap seç, takılırsan ipucu iste.

❔ Soru 12✦ Birlikte çözelim

Türevlenebilirlik ve süreklilik hakkında hangisi kesinlikle doğrudur?

Cevap seçenekleri

AHer sürekli fonksiyon türevlenebilirBTürevlenebilir fonksiyon o noktada süreklidirCSüreksiz fonksiyon her zaman türevlidirDTürev ve süreklilik birbirinden tamamen bağımsızdır

✓ Cevabı kontrol et💡 İpucu göster☷ Çözüm adımlarını göster

💬 Farklı çözümünü yorumlarda paylaş ↗

Bu derste işlem hızından çok kavramsal kavrayışı ölçüyoruz.

Öğrenciler özellikle şu ayrımı doğru yapabilmeli: Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması, o noktada türevli olduğu anlamına gelmez.