Türev Alma Kuralları I (Türev 3. Ders)

1. Dersin kazanımları

Bu dersin sonunda öğrencilerimiz:
- Sabit fonksiyonun türevinin neden \(0\) olduğunu açıklayabilecek.
- \(f(x)=x\) ve \(f(x)=x^n\) fonksiyonlarının türevini bulabilecek.
- Toplama ve çıkarma kurallarını uygulayabilecek.
- Sabit katsayı ile çarpılmış fonksiyonların türevini hesaplayabilecek.
- Basit polinomların türevini hızlı ve doğru biçimde alabilecek.

2. Derse başlamadan önce kendini yokla

Bir önceki dersten hatırlayalım:
\[
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
\]
Bugün bu tanımı kullanarak türev kurallarını türeteceğiz. Yani ezber değil mantığını kuracağız.

3. Sabit fonksiyonun türevi

\[
f(x)=c
\]
Burada \(c\) sabit bir sayıdır. Örneğin \(f(x)=5\) olsun.

Tanımdan:
\[
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
=\lim_{h\to0}\frac{c-c}{h}
=\lim_{h\to0}\frac{0}{h}=0
\]
Demek ki:
\[
\boxed{©'=0}
\]

Yola

Sabit fonksiyonun grafiği yatay bir doğrudur. Yatay doğrunun eğimi her yerde \(0\) olduğu için türevi de \(0\) olur.

4. \(f(x)=x\) fonksiyonunun türevi

Şimdi en temel doğrusal fonksiyonu ele alalım:
\[
f(x)=x
\]
Tanımdan:
\[
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{(a+h)-a}{h}
=\lim_{h\to0}\frac{h}{h}=1
\]
O hâlde:
\[
\boxed{(x)'=1}
\]
Bu da çok önemlidir. Çünkü bundan sonra kuracağımız birçok türev kuralının temelinde bu fikir yer alır.

5. Kuvvet kuralı

Şimdi asıl güçlü kurala geliyoruz.
\[
f(x)=x^n
\]
Burada \(n\), pozitif tam sayı olsun.

Tanımdan:
\[
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}
\]
Binom açılımı yapıldığında ilk iki terim şöyle gelir:
\[
(x+h)^n=x^n+nx^{n-1}h+\cdots
\]
Bu ifadeyi yerine yazalım:
\[
\frac{(x+h)^n-x^n}{h}
=
\frac{nx^{n-1}h+\cdots}{h}
\]
\(h\) sadeleşir ve limitte diğer terimler yok olur. Sonuç:
\[
\boxed{(x^n)'=nx^{n-1}}
\]
Bu, kuvvet kuralıdır.

Örnekler

\(f(x)=x^3\) \(f'(x)=3x^2\)
\(f(x)=x^5\) \(f'(x)=5x^4\)
\(f(x)=x^2\) \(f'(x)=2x\)

Bu sonuç, birinci derste sezgisel olarak ulaştığımız bilgilerle de uyumludur.

6. Sabit katsayı kuralı

Bir fonksiyon sabit bir sayı ile çarpılmış olsun:
\[
f(x)=k\cdot g(x)
\]
Tanımdan hareketle sabit sayı limitin dışına çıkar:
\[
(k\cdot g(x))'=k\cdot g'(x)
\]
Yani:
\[
\boxed{(k\,f(x))'=k\,f'(x)}
\]
Örnek
\[
f(x)=7x^4
\]
\[
f'(x)=7\cdot4x^3=28x^3
\]

7. Toplama ve çıkarma kuralı

Eğer iki fonksiyon toplanmış ya da çıkarılmışsa türev ayrı ayrı alınır:
\[
\boxed{(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)}
\]
\[
\boxed{(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)}
\]
Çözümlü örnek
\[
f(x)=x^3+2x^2
\]
\[
f'(x)=3x^2+4x
\]
Açıklamalı Örnek
\[
f(x)=5x^4-3x^2+x-8
\]

Terim terim türev alalım:
- \((5x^4)'=20x^3\)
- \((-3x^2)'=-6x\)
- \((x)'=1\)
- \((-8)'=0\)

O hâlde:
\[
\boxed{f'(x)=20x^3-6x+1}
\]

8. Polinomların türevi

Artık şunu söyleyebiliriz:

Bir polinomun türevi alınırken her terimin türevi ayrı ayrı bulunur.
\[
P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0
\]
Bu \(P(x)\) polinomunun türevi:
\[
P'(x)=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+a_1
\]
Sabit terimin türevi yok olur.

9. Günlük hayattan örnekler

1. Sabit sıcaklık
Bir odanın sıcaklığı bir süre sabit kalsın:
\[
T(t)=24
\]
\[
T'(t)=0
\]
Yani sıcaklık değişmiyorsa değişim hızı sıfırdır.

2. Düzgün doğrusal artış
Bir su kabındaki miktar sabit hızla artsın:
\[
V(t)=3t
\]
\[
V'(t)=3
\]
Bu, her dakikada 3 birimlik artış olduğunu gösterir.

3. Hızlanan büyüme
Bir cismin konumu:
\[
s(t)=t^3
\]
\[
s'(t)=3t^2
\]
Zaman arttıkça değişim hızının da arttığını görürüz.

10. Sık yapılan hatalar

Yanlış	Doğru
\((x^3)'=x^2\)	Kuvvet başa gelir: \((x^3)'=3x^2\)
Sabit terim aynen kalır	Sabit terimin türevi \(0\) olur
\((5x^2)'=5x\)	Önce katsayı korunur: \((5x^2)'=10x\)
Toplamın türevi tek seferde alınır	Her terim ayrı türevlendirilir

11. Mini Test

Yola ile Öğren

Türev 3.Ders (1)

Yola: Hazırsan birlikte düşünelim! Bir cevap seç, takılırsan ipucu iste.

❔ Soru 13✦ Birlikte çözelim

\(f(x)=9\) fonksiyonunun türevi nedir?

Cevap seçenekleri0981729

Yola ile Öğren

Türev 3.Ders (2)

Yola: Hazırsan birlikte düşünelim! Bir cevap seç, takılırsan ipucu iste.

❔ Soru 14✦ Birlikte çözelim

\(f(x)=x^6\) fonksiyonunun türevi nedir?

Cevap seçenekleri\(5x^5\)\(6x^5\)\(6x^5\)+\(5x^5\)\(30x^4\)

Yola ile Öğren

Türev 3.Ders (3)

Yola: Hazırsan birlikte düşünelim! Bir cevap seç, takılırsan ipucu iste.

❔ Soru 15✦ Birlikte çözelim

\(f(x)=4x^3\) fonksiyonunun türevi nedir?

Cevap seçenekleri\(3x^2\)\(7x^2\)\(12x^2\)\(x^2\)

Yola ile Öğren

Türev 3.Ders (4)

Yola: Hazırsan birlikte düşünelim! Bir cevap seç, takılırsan ipucu iste.

❔ Soru 16✦ Birlikte çözelim

\(f(x)=3x^5-x+7\) fonksiyonunun türevi nedir?

Cevap seçenekleri\(15x^4\)\(15x^4-x\)\(15x^4-x+7\)\(15x^4-1\)

12. Öğretmen notu

Yola

Türev kuralları ezberlenecek kalıplar değil, limit tanımından doğan mantıksal sonuçlardır.

Hasan

Öğrenci kuvvet kuralının kavrarsa, ileride çarpım, bölüm ve zincir kuralını da daha rahat öğrenir.