Gidenler.Me | Yazınsal Sorunlar - Matematik Dersleri

Temel Kavramlar (3)

Sun, 07 Apr 2024 08:42:35 +0000

Bu yazımda sizlerle beraber Temel Kavramların önemli ve soru gelen başlığı olan Pozitif ve Negatif sayılar ile Tek ve Çift sayılar konusuna göz atacağız.

Tek ve Çift Sayılar

2 ile tam bölünebilen tam sayılara çift sayı, 2 ile tam bölünemeyen (veya bölündüğünde 1 kalanını veren) tam sayılara tek sayı denir. n bir tam sayı olmak üzere, genel olarak çift sayılar (2n), tek sayılar da (2n – 1) ifadeleriyle belirtilir.

Tek sayıları T ile ve çift sayıları Ç ile gösterelim:
Z_Ç = { x l x = 2n, n ∈ Z} = { . . . , –2n, . . . , –2, 0, 2, . . . , 2n, . . . } kümesi çift sayılar kümesidir.
Z_T = { x l x = 2n–1, n ∈ Z} = { . . . , –2n+1, . . . , –1, 1, . . . , 2n+1, . . . } kümesi tek sayılar kümesidir.

Tek ve çift sayıların birbirlerine göre durumlarını inceleyelim:

- n doğal sayı olmak üzere, Tⁿ = T'dir.
- n pozitif tam sayı olmak üzere, Çⁿ = Ç'dir.
- a ∈ IN⁺ olmak üzere a⁰ = 1
- Bir tam sayının çarpanlarından en az bir tanesi çift ise sayı çifttir.

Örnek
I. 23¹⁵
II. 13.35.120
III. 132 + 213
IV. 2023.2024 + 8317
V. 9.11.13.27
Yukarıdaki ifadelerden kaç tanesi tek sayıdır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Çözüm:

I. 23¹⁵ için tek sayıların doğal sayı olan bütün kuvvetleri tektir. 23 tek sayı ve 15∈IN olduğundan 23¹⁵ tek sayı dır.
II. 13.35.120 için 13 tek sayı, 35 tek sayı, 120 çift sayıdır. T.T.Ç=Ç sayıdır. Dolayısıyla sonuç çift sayı dır.
III. 132 + 213 için 132 çift sayı, 213 tek sayıdır. T+Ç= T dir. Dolayısıyla sonuç tek sayı dır.
IV. 2023.2024 + 8317 için 2023 tek, 2024 çift ve 8317 tek sayıdır. Burada işlem önceliğine dikkat etmemiz gerekiyor. Unutmayın çarpma işlemi toplama işlemine göre önceliklidir. O halde T.Ç+T= Ç+T = T dir. Sonuç tek sayı dır.
V. 9.11.13.27 için Verilen tüm sayılar tek ve çarpım durumunda. T.T.T.T=T sonuç tek sayı dır.
Cevap: D

Pozitif ve Negatif Sayılar

Sıfırdan büyük sayılar pozitif (+) sayı, sıfırdan küçük sayılar negatif (–) sayı denir. 0 (sıfır) nötrdür.
Çarpma ve bölme işleminin işaretleri:

- n tam sayı olmak üzere,
..(+)ⁿ = (+)
..(–)²ⁿ = (+)
..(–)²ⁿ⁺¹ = (–)
..(–) x 0 = 0
..(+) x 0 = 0

Dikkat:
Pozitif tam sayıların bütün tam sayı kuvvetleri pozitiftir.
Negatif tam sayıların çift tam sayı kuvvetleri pozitif, tek tam sayı kuvvetleri negatiftir.

2⁵ = 32
(-2)⁵ = -32
(-2)⁴ = +16

Örnek
a, b ∈ R olmak üzere,
a < 0 < b olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima negatiftir?
A) a + 1
B) a².b
C) a – b
D) b – a
E) b^a.2

Çözüm:
a negatif ve b ise pozitif bir Reel sayıdır.
I. a + 1 için a negatif bir sayı ancak 1’den büyük ya da küçük diyemeyeceğimizden yorum yapamıyoruz.
II. a².b için negatif sayının pozitif kuvvetleri pozitiftir. P.P=P olur.
III. a - b için a negatif, b sayısı önündeki (-) işaretinden dolayı negatif, dolayısıyla a - b = negatiftir.
IV. b – a için b pozitif, a negatif olmasına karşın önündeki (-) işaretinden dolayı pozitif. Dolayısıyla b-a= Pozitiftir.
V. b^a.2 için burada ise pozitif sayının kuvvetleri pozitif ve pozitif sayıyla çarpma işlemine tutulması yine pozitiftir.
Cevap: C

Ekran Resmi 2024-04-06 21.48.15.png (Dosya Boyutu: 18.51 KB / İndirme Sayısı: 78)
Ekran Resmi 2024-04-06 22.26.53.png (Dosya Boyutu: 18.09 KB / İndirme Sayısı: 69)

Temel Kavramlar (2)

Sat, 06 Apr 2024 11:20:53 +0000

Bu yazımda sizlerle geçen yazımdaki Temel Kavramlar (1) konusu üzerine uygulama yapacağız. Genelde nerede karşılık yaşıyoruz, nerelerde eksiğimiz var onun üstesinden geleceğimizi umuyorum.

Soru 1:
Birbirinden farklı iki rakamın toplamı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) 1
B) 11
C) 13
D) 15
E) 18

Çözüm:
Dikkat edilmesi gereken ilk önemli bilgi rakamlar kümesinin bilinmesidir.
Rakamlar Kümesi= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
İkinci önemli bilgimiz ise toplayacağımız iki sayının birbirlerinden farklı olmasıdır. Şimdi her şıkkı inceleyelim:

A şıkkı için, 0+1=1
B şıkkı için, 2+9=11
C şıkkı için, 6+7=13 veya 5+8=13 veya 4+9=13 üç ayrı toplamda iki farklı sayıyı toplayarak 13 elde ettik; Şu soru akla gelebilir: 10+3=13 onu neden yazmadınız? Çünkü 10 bir rakam değil sayıdır dikkat ediniz
D şıkkı için, 8+7=15
E şıkkı için 9+9=18 olur ki elimizde en yüksek rakam olan 9 sayısını iki defa kullandığımızdan(9 dan başka rakam yazamadık) cevabımızı bulmuş oluyoruz.
Cevap E

Soru 2:
Birbirinden farklı iki rakamın toplamının en büyük değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 17
B) 19
C) 21
D) 23
E) 25

Çözüm:
Rakamlar Kümesi= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
olduğunu unutmadan yapmamız gereken tek şey küme içindeki en büyük iki elemanı alıp toplamak olacak, kümemizin en büyük elemanı 9 ve ondan farklı en büyük ikinci rakam ise 8 dir. O halde 9+8=17 yapar.
Cevap A

Soru 3:
İki basamaklı en küçük tam sayılı ile tek basamaklı en büyük doğal sayının toplamı kaçtır?
A) 90
B) 11
C) 19
D) -19
E) -90

Çözüm:
Şimdi sorumuzda iki can alıcı noktamız bulunmakta:
1. Tam Sayılar Kümesi bilinecek,
2. Doğal Sayılar Kümesi bilinecek.

O hade analizimizi yapalım.
1. Tam Sayılar kümemiz = Z= {…, -3, -2, -1} ∪ {0} ∪ {1, 2, 3, …} = Z^- ∪ {0} ∪ Z⁺ şekildeydi biz en küçüğü aradığımız için burada negatif sayılara bakacağız, dikkat;
- En küçük tek basamaklı tam sayımız, -9
- En küçük tek basamaklı pozitif tam sayımız, 1
- En küçük tek basamaklı negatif olmayan tam sayımız, 0
- En küçük iki basamaklı tam sayımız, -99
2. Doğal Sayılar Kümemiz = {0, 1, 2, 3, …} olan kümeydi. Burada dikkat etmemiz gereken hap bilgimiz:
- En küçük tek basamaklı doğal sayı, 0
- En küçük tek basamaklı pozitif doğal sayı, 1
- En büyük tek basamaklı doğal sayı ise 9 dur.

Çok uzattım farkındayım, sonuca geliyorum: -99+9= -90 dır.
Cevap E

Soru 4:
a ve b birer doğal sayı olmak üzere, a.b = 64 olduğuna göre, a + b toplamının en büyük değeri kaçtır?
A) 16
B) 20
C) 65
D) 64
E) 34

Çözüm:
a.b = 64 olduğuna göre, bu sonucu veren sayıları yazalım ve toplamlarını karşılarına yazarak en büyük sayıyı elde etmeye çalışalım.
1.64 = 64 1+64 = 65 (en büyük)
2.32 = 64 2+32 = 34
4.16 = 64 4+16 = 20
8.8 = 64 8+8 = 16

Görüldüğü üzere 1.64 = 64 değerleri seçilerek 1+64 = 65 en büyük değer olup cevabımızı vermektedir.
Cevap C

Temel Kavramlar (1)

Thu, 04 Apr 2024 15:55:36 +0000

SAYILAR

Bir uzunluğu, miktarı, adeti ifade etmek için “sayı” denilen sembolleri kullanmaktayız; 5 kilo elma, 7 katlı bina, 13 yaşındaki kız vs. gibi. Burada kullanılan 5,7,13 gibi sembollere “sayı”, sayıları oluşturan sembollere “rakam” denir.

Rakamlarımız 0’dan başlayıp 9’da son bulur. Tüm sayıları bu rakamlar üzerinden oluşturur.
Rakam Kümesi = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Sayılar, sonsuz derinliktedir. Elimizdeki rakamlar ile bu derin denizde yüzmeye çalışırız. Siz bir sayı söyleseniz, bu sayıdan bir küçük sayı veya bir büyük sayı kesinlikle bulabiliriz. Mesela, 5 dediğinizi var sayıyorum, bir küçüğü 4 veya büyüğü 9 gibi. İllaki bir büyüğüne gerek yok 5,5 de hatta 13/2 de olabilir. burada sizin hayal gücünüze ve sayı kümemizin özelliğine bağlı.

Aslında burada çok şey anlatmak istiyorum ama burada YKS, DGS, KPSS, ALES sınavlarına hazırlık yapan arkadaşları gerekli ve gereksiz bilgiye boğmaktan kaçmak istiyorum. O yüzden hadi sayı kümelerini tanıyarak başlayalım

Sayı Kümeleri

Sayıları ifade etmek için kullanılan sembollere sayı sistemi denir. Bu sistemdeki sembollere rakam denir.

Rakam Kümesi = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Temel olarak, tüm sayılar rakamlardan oluşur. Sayı sistemlerinde rakam içermeyen sayılı bulunmamaktadır.

Dikkat!Her rakam bir sayıdır ama her sayı bir rakam değildir.
1, hem rakam hem de sayıdır.
13, sayıdır ama rakam değildir.

Sayı ve rakam kavranmalı iyi bilinmelidir. Çünkü bugüne kadar incelediğim sorularda bu kavramın sorulduğu ve çoğu insanın elendiğini gördüm. Sizlere ilk uyarım bu tanımları iyi kavramanız. Şimdi örnek vermiyorum konu ilerledikçe konuyu anlamlandıracak örnekleri size sunacağım.

DİKKAT

Sayma Sayıları Kümesi
Adından da anlaşılacağı üzere saymak için kullandığımız sayılardır. IN⁺ ile gösterilir. 1’den başlayıp sonsuzluğa ulaşır.
IN⁺ = {1, 2, 3, …}

Doğal Sayılar Kümesi
Sayma sayılar kümesine 0 (sıfır) elemanın eklendiği kümedir. Doğada bir şey ya yoktur (sıfır) ya da vardır, keza varsa miktardır. Buradan hareketle 0’dan başlayıp sonsuza ulaşan sayıların kümesine Doğal Sayılar Kümesi denir ve IN ile gösterilir.
IN = {0, 1, 2, 3, …}

Tam Sayılar Kümesi
Tam sayılar kümemizi şöyle anlatayım size, elinizde 50TL olsun, sinema bileti alın sevgilinize ama biletlerin adet fiyatı 35TL olsun. İki bilet aldığınızda 70TL ödeme yaptınız. Peki fazladan olan 20TL’niz nerede? Buradaki 20TL’niz borç para olup borç parayı ifade ettiğimiz kümeye tam sayı kümesi denir.

Tam sayı kümemiz, doğal sayı kümesine negatif sayıların eklendiği kümedir ve Z ile gösterilir.
Z= {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} gösterilir. Ayrıca şu gösterimleri görmenizde mümkün;
Z= {…, -3, -2, -1} ∪ {0} ∪ {1, 2, 3, …} = Z^- ∪ {0} ∪ Z⁺

Z^- = {…, -3, -2, -1} kümesine negatif tam sayılar kümesi,
Z⁺ = {1, 2, 3, …} kümesine pozitif tam sayılar kümesi denir.
Burada 0 (sıfır) elemanını ayrı yazıyoruz. Sıfır ne pozitif ne de negatif bir tamsayıdır. Bu harika bir sayıdır.

ÖSYM’nin veya başka bir kurum ya da öğretmen için harika bir soru değeri olan bilgidir. Çünkü genelde negatif olmayan sayı dediğimizde akla gelen sayılılar kümesi {1, 2, 3, …} oluyor ve kimse 0 (sıfır)’ı dahil etmiyor.

Dostlar Asla Unutmayın!
Negatif olmayan sayılar kümemiz = {0, 1, 2, 3, …}
Pozitif olmayan sayılar kümemiz = {…, -3, -2, -1, 0}

DİKKAT

Rasyonel Sayılar Kümesi
Evet, burada ise durumu özetleyeyim; 11 Portakal var elinizde ve bunu kardeşinizle eşit böleceksiniz, 11/2 olur ki sonuç 5,5 gibi bir sayıya eşittir. Şu ana kadar gördüğümüz sayılar tamdı ama bu küsüratlı. Bu tür sayıları karşılama içinse rasyonel sayılar kümemiz devreye giriyor.

a ve b birer tam sayı ve b≠0 olmak üzere a/b şekilde yazılan sayılara Rasyonel Sayı denir. IQ ile gösterilir.
IQ= {a/b: a, b∈ Z ve b ≠ 0}

Şimdi arada bir sivri çıkıp şu soruyu iletebilir bana: Hocam neden sıfır değil?
Arkadaşlar bunun sonucu sonsuza gittiğinden olmaz. Çünkü sonsuz bir sayı değil. Kanıtlayayım:
b sayımızı sıfıra yakın seçerek bölme işlemi yapalım.
1/1 = 1
1/0,1 = 10
1/0,01 = 100
1/0,00001 = 100000
1/0,00..01 = 1000…00
görüldüğü üzere b sayısı sıfırı yakınsarken sonuç sonsuza gidiyor. Bu sebeple kabul edilmiyor.

İrrasyonel Sayılar Kümesi
Rasyonel sayılar dışında kalan sayılar kümesidir. √2, √5, e, π, … gibi sayılardır. IQ’ ile gösterilir. Burada belirleyici husus şu; sayının virgülden sonrası tahmin edilemeyecek bir nevi sonsuza gidecek. Örneğin:
√2 = 1,414213562373095…
√3 = 1,732050807568877…
√4 = 2 irrasyonel değil rasyoneldir! Sayımız virgüllü değil.

Reel Sayılar Kümesi
Şu ana kadar göreceğimiz doğada var olan en geniş kümedir. Bunu Rasyonel sayılar ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimine elde ediyoruz. Reel ismi aslında tam benzemese de Real(Gerçek)'dan gelmektedir.
R = IQ ∪ IQ'

Ekran Resmi 2024-04-04 18.23.56.png (Dosya Boyutu: 29.1 KB / İndirme Sayısı: 61)
Ekran Resmi 2024-04-04 18.23.24.png (Dosya Boyutu: 45.57 KB / İndirme Sayısı: 58)

Kümeler üzerine (4)…

Tue, 06 Feb 2024 09:09:28 +0000

Evet yeni yazımla karşınızdayım. Bu yazıyı okuyorsanız sizlerde 4’üncü derse hazırsınız demektir. O zaman önceki konunun ufak özetiyle başlayalım ve yeni konumuza devam edelim.

“Kümeyi oluşturan her nesne o kümenin elemanıdır.” demiştik ve eleman sayısını da s(A) ile gösterildiğini söylemiştik. Hatta “MATEMATİK“ kelimesinin harflerinden oluşan küme üzerinde de analiz yapmıştık. Bu kümeye G kümesi olsun demiş ve elemanları ile birlikte yazmıştık: G = {M,A,T,E,İ,K}

Ama dikkat ederseniz G kümesinde MATEMATİK kelimesinin tekrar eden harflerini çıkardık. Bunun sebebi neydi? Her eleman ancak ve ancak bir kere yazılmalıydı. Bu çok önemli bir kuraldı. Peki kümeye baktığımızda başka ne söylemiştik? Eleman sayısının 6 olduğunu. Bunuda virgül ile ayrılan elemanları saymamız gerektiğiydi. Detay için

Bkz: Kümeler üzerine (3)…

Tüm bunlar bittiğine göre şimdi kümenin elemanı kimler/kimler değil onu tartışalım.

Bir kümeyi oluşturan nesneye biz eleman demiştik. İşte biz o elemanın, bahsi geçen kümenin elemanı olduğunu ∈ sembolü, elemanı olmadığını ise ∉ sembolü ile gösteririz.

Yukarıdaki G kümesini ele alalım. Neydi G kümemiz:
G = {M,A,T,E,İ,K} hadi elemanları tek tek inceleyelim.
M, G kümesinin elemanıdır. → M ∈ G
A,G kümesinin elemanıdır. → A ∈ G
T, G kümesinin elemanıdır. → T ∈ G
E, G kümesinin elemanıdır. → E ∈ G
İ, G kümesinin elemanıdır. → İ ∈ G
K, G kümesinin elemanıdır. → T ∈ G

Tüm bu olanlar iyi, hoş ve güzel peki Z harfi bu kimenin elemanı mı?
Hayır değil! Peki onu nasıl göstereceğiz?
Z, G kümesinin elemanı değildir. → Z ∉ G

X, bu kümenin elemanı mı? Tabiki hayır.
X, G kümesinin elemanı değildir. → X ∉ G

Bu konuyu da tamamladığımıza göre gelecek dersimizde kümelerin gösterim yöntemleri ile devam edeceğiz. Şimdilik hoşça ve sevgiyle kalın canlarım

Kümeler Üzerine (3)...

Sat, 03 Feb 2024 09:17:06 +0000

Geçen derslerimizde bir kümenin nasıl tanımladığını, küme belirtme şartlarını ve boş kümenin ne olduğunu öğrenmiştik. Sıradaki dersimizde bir kümenin elemanı olma ve eleman sayısının ne olduğu konularını konuşacağız. Öncelikle bir küme oluşturalım hatta kümemizde şu olsun: “Alfabemizdeki sesli harfler kümesi.”

Alfabemizdeki Sesli Harfler Kümesi = {a, e, ı, i, o, ö, u, ü} şeklindedir. İtirazı olan yoktur sanırsam. Ama bu kimsenin adı çok uzun değil mi sizce de? İşte biz Matematikçiler bir şeyi ortaya atıp ispatladıktan sonra onu formüle etmeyi veya kısaltmayı severiz. Küme adını uzun uzadıya yazmakta bunlardan biri. Hem zaman, hem yazdığımız nesnede alan, hem de enerji kaybı. Hal böyle iken insanın yapısı gereği uğraşmak yerine kısa yolu tercih eder. Bizde kümelere isim vermek yerine harf vermeyi seçmişiz. Demişiz ki Haftanın günleri kümesi = {Pazartesi, Salı, Çarşamba, Perşembe, Cuma, Cumartesi, Pazar} yazmak yerine, H={Pazartesi, Salı, Çarşamba, Perşembe, Cuma, Cumartesi, Pazar} yazalım. Elemanlar değişmedi. Yerleri değişse bile sayısı ve özelliği değişmiyor. Demek ki özelliği bilinen kümelerin adını uzun uzadıya yazmak yerine ona bir harf vererek yazmak daha pratik. Hadi deneyelim. 5’ten küçük ve 2’den büyük sayma sayılar kümesini yazalım.

Beşten küçük ve ikiden büyük sayma sayılar kümesi = {3, 4}
Dikkat ettiniz mi küme adı kümeden daha fazla yer kaplıyor. Bizim küme elemanlarımız biliniyor mu, evet biliniyor. O halde ben o kümeye A dersem ve o kümenin özelliğini de 5’den küçük ve 2’den büyük sayma sayılar kümesi olarak tanımladıktan sonra A = {3,4} olarak yazabilirim.
Bu şekilde küme adı, kümenin kendisinden kısa oldu. İşte bundan sonra kümeleri harflerle göstereceğiz. Ama küme isimlerini harflerden yazarken dikkat etmemiz gerekenler var. Bunlardan birincisi, küme isimleri büyük harfler ile gösterilir. Küme içindeki elemanlar ise küçük harflerle gösterilir. Bu genel olarak küme ve elemanlarının birbirleriyle karıştırılmaması için yapılan bir genellemedir. İleri Matematikte “Küme Ailesi ve Kuvvet Kümeleri”nde büyük harflerle yazılan elemanlar ve kümelerde görebilirsiniz şaşırmayınız (tabi sözüm burada Matematik/Matematik ve Bilgisayar Bölümü, Matematik Öğretmenliği, Matematik Mühendisliği, Bazı Mühendislik Bölümleri)
Şu ana kadar öğrendiklerimizi tekrarlayalım:

Küme: İyi tanımlanmış nesne topluluğuna küme denir.
Boş Küme: Elemanı olmayan kümeye boş küme denir. ∅ ve {} ile gösterilir.
Küme isimleri büyük harfle, elemanlar küçük harfle yazılır.

Peki ikinci maddede boş kümeye elamanı olmayan küme dedik. Bu eleman nedir birazda bunu tartışalım.

Kümelerde Eleman ve Eleman Sayısı

Eleman, kümeyi oluşturan nesnelerdir. Örneğin A= {3,4} kümesini ele alalım. Burada süslü parantezlerimizin içindeki, yani bu {} simgenin içine yazılan ve virgüllerle ayrılanlar kümemizin nesneleridir.

Küme Adı = {Birinci eleman, İkinci Eleman, Üçüncü eleman}

Küme, isim ve elemanlardan oluşur. Aynı elamanlar sadece bir defa yazılır, farklı elemanlar ise birbirlerinden virgül(,) ile birbirlerinden ayrılırlar.

Peki bunu nasıl anlayacaksınız? Örnek üzerinden başlayalım. MATEMATİK sözcüğünü oluşturan harflerin kümesini oluşturalım. Bu kümeye J diyelim. J= {M,A,T,E,M,A,T,İ,K} şeklinde oluşturduğunuzu düşünüyorum. Kümeyi böyle oluşturduysanız hata yaptınız. Hadi o hataları düzeltip doğrusunu yazalım.
İlk olarak kümenin aynı elemanları bir defa yazılır.
MATEMATİK kelimesini oluşturan harflerden:

M, 2 defa yazılmış ve 1 kez yazılacak,
A, 2 defa yazılmış ve 1 kez yazılacak,
T, 2 defa yazılmış ve 1 kez yazılacak,
E, 1 defa yazılmış sorun yok karışmayacağız,
İ, 1 defa yazılmış sorun yok karışmayacağız,
K, 1 defa yazılmış sorun yok karışmayacağız,

İkinci olarak yukarıda kalan harfleri tek tek yazalım ve yazdığımızın sonuna virgül ekleyelim:
{M, A, T, E, İ, K}
Kümemizin kalıbı oluştu, tek eksiğimiz adı. Hadi son olarak onu da ekleyip noktamızı koyalım:
G = {M, A, T, E, İ, K} kümemiz tamamlandı. İlk aklımıza gelenle karşılaştıralım.

İlk yazdığımız ve yanlış olan kümemiz: J= {M,A,T,E,M,A,T,İ,K}
Son yazdığımız ve doğru olan kümemiz: G = {M, A, T, E, İ, K}

Buraya kadar tamamsak devam edelim. Şimdi eleman sayısı bulmaya.
En kolayı eleman sayısı bulmaktır. Neden mi? Elemanlar birbirlerinden virgülle ayrılmış, virgüllerin arasında kalanları sayarsanız eleman sayısına ulaşırsınız.

Kümenin eleman sayısı: Bir kümede bulunan elamanların sayısıdır.
A kümesinin eleman sayısı s(A) ile gösterilir.

G = {M(1.eleman), A(2.eleman), T(3.eleman), E(4.eleman), İ(5.eleman), K(6.eleman)}
G kümemiz 6 elemanlı bir kümeymiş. Sayımı da böyle yapıyoruz. Hadi bunu da gösterelim.
G kümesini bu formata uygun yazarsak s(G)=6 olur.

Bugün çok yordum sizi biliyorum ama değdi diye de düşünüyorum bu konuları “eleman tanımı” ve “eleman sayısı” birbirleri ile bağıntılı konulardı. Tek tek anlatılacak konular değildi. Ama şöyle de düşünün fazla örneğe boğmadım sizi
Sonraki derste görüşmek dileğiyle kendinize iyi bakın

Matematik Dersine Nasıl Çalışmalıyız?

Mon, 29 Jan 2024 17:37:08 +0000

Merhaba dostlar,

Kısa süre önce yayın hayatına başlayan bu sitede siz değerli takipçilerimize Matematik derslerini elimden geldiğince anlatmaya çalışıyorum. Özellikle tanımları, altını üstünü vurgulaya vurgulaya; içinde geçen kelimeleri analiz ede ede sizlerin anlaması için büyük çaba da sarf ediyorum. Çünkü Matematik demek tanım demektir. Matematiğin uygulamalarını çözmek ise tanımı soruya uygulayıp sonuca ulaşmaktır. Konu anlatır gibi yazıya başladım ama matematiğin felsefesinden bahsetmemek olmazdı. Hele “Matematiğe nasıl çalışmalıyız?” diye soran bir kardeşime mecburen bunu öğüt olarak söylüyorum. Hayatın her yerinde olan bu dersi ister bilerek ister bilmeyerekte kullanıyoruz. Bu bir ders değil, sizlerle samimi olarak kaleme aldığım bir sohbet.

Matematiğe çalışırken ilk dikkat etmeniz gereken madde tanımlardır. İyi anlaşılmalı ve kafanızda soru işareti olmadan geçilmelidir. Şu an hali hazırda “Kümeler” konusunun içeriğini hazırlıyorum sizler için. Eğer konuları incelediyseniz özellikle “iyi tanımlanmış nesne topluluğu” cümlesini kullanmadığım ve analiz etmediğim yer yok. Şunu bilin ki tanımları ne kadar iyi bilirseniz konuya o kadar hakim olursunuz ve üstesinden gelemeyeceğiniz bir problem olmaz. Eğer küme tanımını iyi anladıysanız “dünyada hafta sonu günleri”nin bir küme belirtmediğini söylemeniz lazım, söyleyemeyenler için kısaca anlatayım; Türkiye’de hafta sonu günleri Cumartesi ve Pazarken, İsrail’de bu günler Cuma ve Cumartesidir. Bu cümlemiz iyi tanımlı olmadı. Ama bunu İsrail’de hafta sonu günleri desek bunun küme belirttiğini ve bu kümeye A dersek A={Cuma, Cumartesi} kümesi olduğunu hemen söyleyeceksiniz.

Dikkat edin tanım bilerek bir problemi çözdük yani küme olup olmadığının cevabını verdik, devamı ve ben güzeli analiz yaparak küme olmayan ifadeyi küme olacak şekilde düzenledik ve bir küme elde ettik. İşte ideal öğrenim burada. Leb demeden Çorum cevabını almak.

- "Hocam çok güzel anlatmışsınız ama ben konuyu biliyorum ama soruyu çözemiyorum, buna ne diyeceksiniz."

Canım, şekerim, güzelim, gardaşım… konuyu ya öğrenmedin ya da ezberleyip geçtin. Nereden bunu çıkardım derseniz, sizle bir soru cevap yapalım ve konuya göre cevap nasıl değişir görelim.

En küçük tek basamaklı sayma sayı?
En küçük iki basamaklı sayma sayı?
En küçük tek basamaklı doğal sayı?
En küçük iki basamaklı doğal sayı?
En küçük tek basamaklı tam sayı?
En küçük iki basamaklı tam sayı?
En büyük ve en küçük reel sayının toplamı kaçtır?

Konu hakkında hafif bilgisi olan ve ben bu konuyu biliyorum diyen canlara gelsin bu sorular. Cevaplarım ile cevaplarınızı karşılaştırın, tamamını doğru yapanlar canımsınız konuyu iyi anlamışsınız. Hepsini doğru yapamayanlar işte sözüm sizlere. Ama önce cevapları vereyim:

1
10
0
10
-9
-99
Belirsizlik içerir.

“Ama hocam nasıl olur, yaa ben negatif sayıları unuttum, hocam reel sayılar en küçük ve en büyük sayının toplamı sıfır değil mi?…” gibi cevaplarınız ve sorularınız geliyor kulağıma ama cevaplar bunlar arkadaşlar yapabileceğim bir şey yok. İşte bahsettiğim konuyu iyi anlama ya da tanımı iyi anlama burası işte. Matematikte bir konu tanımla başlar tanımın uygulaması(çözümlü örnek ve soru çözümü) ile devam eder ve biter diyemiyorum, bu konu devam eder ve yeni konunun öncülü olur. Konular birbirleriyle bağlantılıdır. Sizler kümeyi bilmezseniz, sayı kümesini oluşturamazsınız, bağıntı oluşturamazsınız, bağıntı olmazsa bir fonksiyonu oluşturamazsınız, fonksiyonlar anlaşılmazsa limit, türev, integral alamazsınız. Son sorunuz sayı problemi olarak algılasanızda bu bir limit sorusuydu. Yani sonsuz-sonsuz belirsizliğiydi.

O zaman Matematik çalışırken ilk yapmamız gereken şey ben matematik yapabilirimdir. Yapamam tabusunu kırmanız lazım. İnanmak başarının yarısıdır. “Ama hocam vallahi anlamıyorum olmuyor?” böyle bahanelerini geçin canlar. Herhangi bir kitap evine veya kütüphane gittiğinizde varsayıyorum ki KPSS çalılıyorsunuz. ALES veya YKS kitaplarının bulunduğu rafta KPSS kitabı aradınız mı? Bunu yapan bir arkadaşımız varsa aramızdan ayrılabilir. Bu arkadaşın matematiklede işi olmasın

Hepinizin bu muttoyu kabul ettiğini varsayıyorum yoksa buraya kadar bu yazı okunmazdı. Şimdi gelelim ikinci kurala, tanımlar iyi bilmek(ezber yok, iyi bilirseniz siz yazarsınız bu tanımı) ve hakim olmaktır. Yukarıdaki soruları örnek alın genelde ben biliyorum diyenlerin çoğu konuyu bilmiyor. Artık kendinizi kandırmayı bırakın arkadaşlar ve hemen vakit kaybetmeden çalışmaya başlayın

Hocam ben tavsiyenize uydum tanımları iyi anladım ama hala yapamıyorum. Ben yapacağım diyip tanımı anlamak matematiğin %70’dir bana göre. Belki diğer arkadaşlarım bunun oranını arttırır ya da azaltır. Anahtarımız burasıydı. Şimdi üçüncü öncülümüzde soru çözmek. “Haydiiii, ya ben soru çözemiyorum sen soru çöz diyorsun hocam!” diyorum evet. Ya bende matematik sorusu çözmeliyim ki bildiklerimi kuvvetlendireyim, bilmediğim ya da eksik kaldığım ne varsa onu tespit edip o eksiği gidereyim. Siz sanıyor musunuz ki biz Matematikçiler geceleri uyuyoruz? Geceleri bizim soru çözdüğümüz zamanlardır sabahına sizlere ders anlatacağız olurda dalgınlığımıza gelir, çözmediğimiz bir tiptir siz çözersiniz ki ben helal olsun derim ama dilinizden de kurtulamam

Unutmadan belirteyim çözemediğiniz soruları mutlak suretle sorun canlar öyle köşede bir yerde kalmasın. Geri dönütler çok önemlidir.

Şu an %90 tamamız. Son olarak ise canlar bol bol tekrar. Bugün yaptığınız şeyi yarın unutursunuz. Yazılı dönemlerinizi hatırlayın çoğunuz konuyu ilk zamanlar hatırlayıp yazılıda yapamıyordunuz ve düşük notlar alıyordunuz. “Acaba sebebi neydi ki” dediğinizi duyar gibiyim işte sebebi buydu canlar tekrar eksikti.

İşte temel ve genel matematiğe bu 4 sıralı adımla çalışılır ve bu emeğin karşılığı inşallah alınır. Umutsuzluğa düşmeyin, çalışmayı ihmal etmeyin, asla pes etmeyin ve kendinize çok iyi bakın kardeşlerim.

Kümeler Üzerine (2)...

Sat, 27 Jan 2024 14:29:56 +0000

Geçen dersimizde kümelere giriş yapmıştık, ufak bir tekrarla başlayarak devam etmek istiyorum.

Kümelerde artık amacımız ne olduğunu biliyoruz: Elimizdeki verileri özelliklerine göre kategorize etmek. Bunu yaparken nesnelerin özelliklerini iyi bilmemiz gerekiyor. Neydi kümenin tanımı: iyi tanımlanmış nesnelerin topluluğu. Geçen dersimizde “Haftanın J ile başlayan günleri küme oluşturur mu?” sorusuna evet demiştik. Aklınıza şu sorunun geldiğine eminim, “Ama hocam J ile başlayan haftanın bir günü yok ki!”. Evet doğru söylüyorsunuz, haftanın günleri arasında J ile başlayan bir gün yok. Bu yazıyı yazarken yanımdaki arkadaşıma da sordum, o da sizin gibi “Hasan sen iyi misin kardeşim haftanın J ile başlayan günü olur mu?” dedi. O da haklı haftanın J ile başlayan bir günü yok. Yoldan birini çevirip sorsanız o da sizinle ve benimle aynı fikirde: Öyle bir şey yok!

İşte biz kümeyi oluştururken ne demiştik, iyi tanımlanmış nesne topluluğu. “İyi tanımlanmış nesne” tanımı çok önemli demiştim. İyi tanımlı nesneler herkesin aklına aynı şeyi getirecekti. Bu örnekte hepimizin aklına J ile bir günün olmadığı cevabı geldi. O zaman yeni bilgimize gelelim ve yeni konumuza başlayalım.

Boş Küme

İyi tanımlanmış bir nesnemiz var, “Haftanın J ile başlayan günleri var mı?” analizimize başlayalım:

1. Nesnemiz iyi tanımlanmış mı?
Evet. Çünkü hepimiz tek bir ağızdan böyle bir haftanın günü yok dedik.

2. Peki bunun sonucunda J ile başlayan günler = {…} yazabileceğimiz bir eleman var mı?
Hayır. J ile başlayan gün yok.

3. Peki bu iyi tanımlamış olmasına rağmen küme oluyorsa elemanı nerede?
Dostlar, doğamızda “Bir madde var iken yok, yok iken de var edilemez.” aksiyomunu biliyorsunuz. Varlığı 1, yokluğu ise 0 ile gösteriyoruz. Yani elemanı olmayan küme olabilir. Olmayan bir şeyi var edemezsiniz.

Boş KümeElemanı olmayan kümeye boş küme denir ve ∅ veya {} ile gösterilir.

Boş kümeler iyi tanımlanmış kümelerdir. Bakınız dünyanın güncelini göz önüne aldığımızda ayak numarası 1988 olan insanlar kümesi oluşur mu? Böyle bir küme güncel verilere göre boş kümeye eşittir. Kalkıp böyle bir insan imal edilemez. Yoksa yoktur. Şüphe etmeye ve tereddüt etmeye gerek yok. Bizim ilk bakacağımız olay verilen veri küme olur mu olmaz mı?

“Haftanın güneşli günleri.” ifadesine bakalım. Bu ifade küme belirtemez elemanlarında şüphe oluşturan durum var. Kışın güneşli gün görülemez, kış bitip yaz geldiğinde bu günleri alıyoruz; şimdi biz kışı mı baz alacağız, yazı mı baz alacağız. Şüphe duyduğumuz yer burası. Bu “iyi tanımlanmış nesne” tanımına aykırı yani küme oluşturmaz. Ama Türkiye’de hafta sonu günleri. Hepimiz hafta sonunu yani Cumartesi ve Pazar günlerini iple çekiyoruz.
Türkiye’de hafta sonu günleri = {Cumartesi, Pazar} hemen küme oluştu. Bu nüansı iyi anlamak gerekiyor. Şüphesiz ve net olmalı.

Yoğun bir ders oldu bu sanırsam bu dersimizi de burada bitirelim. Diğer derste görüşürüz

Kümeler Üzerine (1)...

Wed, 24 Jan 2024 18:44:31 +0000

Matematiğin en önemli konusu sence nedir diye soran olursa hiç düşünmeden vereceğim cevap kümelerdir. Hatta bana göre Matematiğin temelidir desem abartmış olmam.

Matematik tanımlarla oluşan bir bilim ve kümeler bu tanımları anlatırken kullandığımız efsane bir konudur. Çünkü ilerde zaman olur mu bilmiyorum, Sayılar, Bağıntılar, Fonksiyonlar… üzerine konuştuğumuzda neden baskılaya baskılaya Kümeler dediğimi anlayacaksınız. Önden spoiler vermem gerekirse Doğal Sayılar Kümesini ele alalım, neydi doğal sayılar kümesi: “Doğada mutlak bulunan, yokluğu ve varlığı temsil eden, bir varlık var ise adetinin ne kadar olduğunu anlatmamızda kullandığımız semboller topluluğu kümesidir.” veya “0’dan başlayıp sonsuza kadar devam eden sayılar topluluğunun oluşturduğu kümeye doğal sayılar kümesi denir.” diye öğrendiğimiz sayılır kümesinin bir alt kümesidir.

Kümelerde tek bir amacımız var: Nesneleri kategorilendirmek ve bu kategorilere göre özellikleri kullanmak. Manavda ürünler aklınıza gelsin elmalar bir yerde, çilekler bir yerde. Ne elmanın içinde çilek var ne de çileğin içinde elma. Mobilya satan bir mağaza düşünelim, mağazanın özelliği ne, kanepe, koltuk, baza vs. satması. örneğin Bellonadan turşu alan var mı?

İnadına inadına nerede bir küme içeren terim bulduysam özellikle kullanıyorum ki hem önemini anlayalım hem de aşina olalım. Çünkü hayatın her yerinde kümelerin bir uygulamasına rastlamanız mümkün. Bakınız Güneş sistemi gezegen topluluğudur, Dünya ise burada bir elemandır; Okul bir öğrenci topluluğudur, öğrenciler, öğretmenler, idareciler, hizmetliler vs. bu topluluğu oluşturan elemanlardır. Kısaca bir hatırlatmalardan sonra hadi başlayalım tanımlara ve uygulamalara boğulmalara ?

Küme Nedir?

Yıllarca okullarda vazgeçilmemiş olan tanımdan yola çıkalım: “Küme, iyi tanımlanmış nesne topluluğu.” Şimdi bu tanım üzerine düşünelim.
İyi tanımlanmış nesne ne demek? İyi tanımlanmış nesne demek dünya üzerinde kim olursa olsun aynı şeyi anlaması, başka bir anlam çıkarmaması olarak düşünülmelidir. Haftanın günleri nelerdir dediğimde, herkesin aklına gelen; pazartesi, salı, çarşamba, perşembe, cuma, cumartesi, pazardır. Aksini düşünen biri olabilir mi? Bu Amerikada da böyle ingilterede de böyle. Topluluktan kastımız ise bunları bir arada yazmaktır.

Kümeler teorisinin kurucusu Alman matematikçi G.Cantor(1845-1918) dur. Cantor da küme kavramını “Bir kümeyi, sezgimizin veya düşüncemizin belirli, mükemmel bir şekilde ayırt edilebilir nesnelerin tutarlı bir bütün halinde bir araya gelmesi olarak görüyoruz” şeklinde tanımlamaktadır

Haftanın günleri={pazartesi, salı, çarşamba, perşembe, cuma, cumartesi, pazar}
Gördüğünüz üzere bir küme oluşturduk. Bu küme bizim için haftanın günleri kümesidir.
Peki başka bir küme tanımlayabilir miyiz? Tabiki tanımlarız tanımlamak için yapmamız gereken tek şey iyi tanımlı nesne seçmemiz. Yeni tanımlayacağımız küme ise dünyadaki mevsimler olsun, neydi bunlar; ilkbahar, yaz, sonbahar, kış. Dünyanın neresine giderseniz gidin her ülkede kabul görülür ama 4 mevsimi bir yılda yaşayan ülkeler ise azdır. Aslında bu örnek kesişim kümesini anlatmak için ideal bir örnekmiş notlarıma aldım ilerde bu örnek üzerine kesişimi anlatacağım.

Hasan hocam, her şey hoş güzel peki bir örnekte geçen ve bize bu küme belirtir mi belirtmez mi diye sorulduğunda bunu nasıl ayırt edeceğiz, mesela;

Haftanın p ile başlayan kümesi
Haftanın j ile başlayan kümesi
Haftanın sevilen günleri kümesi
Haftanın bazı günleri
Haftanın uzun geceli günleri

ifadelerinden hangileri küme belirtir?

Öncelikle şimdi söyleyeceğim şeyi asla aklınızdan çıkarmayın: matematik tanımlardan oluşan bir bilimdir. Tanımı ne kadar iyi öğrenirseniz, bulunduğunuz konuya iyi derecede hakim olursunuz.

Sayılar konusunu bildiğinizi varsayarak söylüyorum, 1 ve 2 sayısı arasında bulunan doğal sayıları sorsam 1 ve 2 arasında doğal sayı olmadığı dönütünü vereceksiniz ve bu cevabınız çok doğru bir cevap ama 1 ile 2 arasındaki rasyonel sayıları sorsam bana yok diye cevap verebilir misiniz? Evet cevabını verenler varsa konuyu bilmiyordur. Rasyonel sayılar kümesi neydi,
IQ={a/b: a,b ∈ IN ve b, sıfırdan farklıdır}
O halde bu şarta uyan bir sayı söyleyeyim, 3/2 bu aralıkta bulunan bir rasyonel sayıdır. Demek ki bir sayımız var. Daha çokça sayı üretebilir. Örneğin kök2 sayısı yine bu aralıkta bulunan bir rasyonel sayı mıdır? Hayır, ama neden hocam √2 yaklaşık olarak 1,11 ama. Doğru yaklaşık değere bakarsak √2 bu aralıkta değerli kardeşim ama √2 rasyonel sayı değil. İlk şartımız olan (1,2) aralığının içinde ama rasyonellik şartını sağlamıyor. √2 irrasyonel bir sayıdır. Görüldüğü üzere tanımlar bilinmeden konu ilerlemiyor

Şimdi tek tek soruları inceleyelim:

Haftanın p ile başlayan günleri: var mı böyle günlerimiz, evet. {pazar, pazartesi, perşembe} bakın kümeyi oluşturduk. O zaman tikimizi atalım
Haftanın j ile başlayan günleri: bu da küme oluşturuyor. Boş küme oluşturur bu ama sonraki dersin konusu olsun
Haftanın sevilen günleri: işte bu küme oluşturmaz. Neden mi bakın size bir ipucu vereyim subjektif cevaplar varsa küme oluşturmaz, senin sevdiğin gün perşembedir, benim günüm cumadır, bir başka arkadaşın günü ise pazardır. Cevapların hiçbiri birbirini tutmuyor, tutarsızlık var yani iyi tanımlı nesnemiz yok, dolayısıyla Küme oluşturmaz.
Haftanın bazı günleri: bence pazartesini soruyor, sizce? Subjektif cevaplar oluşacak ve bir net cevap bulamayacağız. Burada iyi tanımlanmış bir nesnemiz yok. Küme oluşturmaz.
Haftanın uzun geceli günleri: bence küme oluşturmaz gibi, Sizce?

Bir sonraki derste biraz daha irdeleyeceğiz kümeleri hazır olun kendinize iyi bakın